Группа 591-1

Группа 591-1

03.09.20:

(повторяли производные)

маленькая проверочная (доделывать дома):

найти производные от композиции функций 
$$\left (\sin 5x  \right )' \\ \left (\sin (x^2)  \right )' \\ \left (\sin (e^x)  \right )' \\ \left ( e^{\sin x}  \right )'$$

07.09.2020: 

дифференциал. почему [tex]\Delta x = dx[/tex]? как находить? применение дифференциала в приближенных вычислениях - [tex]f(x+\Delta x) \approx f(x)+f'(x) \cdot \Delta x[/tex]

Домашнее задание:  найти приближенно с помощью дифференциала [tex]\cos 61^{\circ} \; , \; \cos 59^{\circ}[/tex]

09.09.2020:

 асимптоты (горизонтальные, вертикальные, наклонные)


[не успевал записывать]


объявление: 

за все время я в электронный журнал вписал пару - тройку ДЗ (а надо намного больше), кто их не показывал, получили 2. Паниковать не надо, просто покажете если у вас это есть в тетради, или решите.

за 09.09.2020: найти приближенно с помощью дифференциала что нибудь вроде [tex]\cos 61^{\circ} \; , \; \cos 59^{\circ}[/tex]

за 09.10.2020: № 49.9 (в) из задачника алгебры

за 24.09.2020 (была маленькая проверочная по интегралам): с вас показать любой вариант (решенный), первый интеграл по свойству линейности, второй на замену переменной. 

  на 4 на 5
вариант 1 $$\int 3e^x+5x^2+\frac{4}{\sin^2x} dx$$ $$\int \frac{e^{arcsin(x)}}{\sqrt{1-x^2}}dx$$
вариант 2 $$\int \frac{4}{1+x^2}+\frac{8}{\sqrt{1-x^2}}+3x^7dx$$ $$\int \frac{e^{arctg(x)}}{1+x^2}dx$$

29.10.2020:

закончили обсуждать задачи на стр. 8 учебника геометрии, оценка за задачу №15 (исправить двойку- об]яснить эту задачу или показать ее в тетради, чтобы к написанному не было вопросов). Начали обсуждать параллельность прямых и плоскостей (аксиомы определения и теоремы).


(остаток часов выпал на второй семестр)

ДЗ (11.03.2021):

Найти объем эллипсоида вращения (при помощи интегральной формулы объема), образованного вращением эллипса [tex]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/tex] вокруг оси [tex]OX[/tex]. Нашли пределы интегрирования и подынтегральную функцию, дома досчитать 

$$V_{эллипсоида} = \pi \cdot \int_{-a}^{a} \left ( b \cdot \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}  \right )^2 dx = ?$$

ДЗ (13.03.2021):

Найти объем эллипсоида (не эллипсоида вращения!!!) $$\color {blue} {\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}+ \frac{z^2}{c^2}= 1}$$ при помощи интегральной формулы объема.

 (понадобиться формула для площади эллипса, так как поперечные сечения эллипсоида в интегральной формуле объема будут эллипсами, эллипс [tex]\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}= 1[/tex] имеет площадь [tex]S= \pi \cdot a \cdot b[/tex]) 

Рассматривая поперечные сечения эллипсоида плоскостями [tex]x=x_0[/tex] получаем, что в сечении эллипсы 

$$\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}+ \frac{z^2}{c^2}= 1 \Rightarrow \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}= 1 - \frac{x_0^2}{a^2} \Rightarrow \\ \\ \\ 
\color {blue} {\frac{y^2}{b^2 \left (1- \frac{x_0^2}{a^2}  \right )} + \frac{z^2}{c^2 \left (1- \frac{x_0^2}{a^2}  \right )} = 1}$$ с полуосями $$\sqrt{b^2\left ( 1-\frac{x_0^2}{a^2} \right )}= b \sqrt{ 1-\frac{x_0^2}{a^2}} \; и \; \sqrt{c^2\left ( 1-\frac{x_0^2}{a^2} \right )}=c \sqrt{ 1-\frac{x_0^2}{a^2}}$$ 

площади которых (это площади поперечных сечений плоскостями [tex]x=x_0[/tex], входящие в интегральную формулу объема) $$S(x_0)=\pi \sqrt{b^2\left ( 1-\frac{x_0^2}{a^2} \right )}\sqrt{c^2\left ( 1-\frac{x_0^2}{a^2} \right )} =\pi b c \left (1-\frac{x_0^2}{a^2}  \right )$$

Пределы интегрирования по оси [tex]0x: \; -a\leqslant x \leqslant a [/tex].

Подставляем это в интегральную формулу объема и получим интеграл, который вам дома досчитать:

$$V_{эллипсоида}=\int_{-a}^{a} \pi b c \left (1-\frac{x_0^2}{a^2} \right ) d x_0$$


ДЗ (16.03): решить уравнения с корнями: [tex]\sqrt{x^2-1}=x+1, \; \sqrt{x^2-1}=2x+1[/tex], использовать при решении, что  $$\sqrt{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
f(x)=\left (g(x)  \right )^2\\ 
g(x)\geqslant 0
\end{matrix}\right.$$


ДЗ 17.03 (на решение уравнений с квадратным корнем):

Для решения уравнений с квадратным корнем вида [tex]\sqrt{f(x)}=g(x)[/tex] приходится возводить это уравнение в квадрат (левую и правую часть), но это не равносильное преобразование, которое может добавить посторонние корни, так как при возведении в квадрат  [tex]\sqrt{f(x)}=\color {blue} {-g(x)}[/tex] получится то же самое, то есть появятся лишние корни от уравнения  [tex]\sqrt{f(x)}=\color {blue} {-g(x)}[/tex], которое имеет такой же квадрат [tex]f(x)=\left (g(x)  \right )^2[/tex],  как и [tex]\sqrt{f(x)}=g(x)[/tex].

Чтобы сохранить равносильность при возведении в квадрат, надо отсекать лишние корни дополнительным условием (выделено синим):

$$\sqrt{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
f(x)=\left (g(x)  \right )^2\\ 
\color {blue} {g(x)\geqslant 0}
\end{matrix}\right.$$

Ранее подробно разобрали пример [tex]\sqrt{\sin x} = \cos x[/tex], самостоятельно решить аналогичные уравнения с корнем:

$$\sqrt{\sin x} = - \cos x, \; \sqrt{- \sin x} =  \cos x, \; \sqrt{-\sin x} = - \cos x$$


МАТЕМАТИКА ПРОФ.

12.01.2021:

ДЗ. Убедится, что все функции вида [tex]y(x)=x+A+Be^{-x}[/tex] где [tex]A,B[/tex] произвольные константы являются решениями дифференциального уравнения [tex]y''+y'=1[/tex].

Указание: 

  • найдите [tex]y'=\left (x+A+Be^{-x}  \right )'[/tex]
  • найдите [tex]y''=(y')'[/tex]
  • выполняется ли [tex]y''+y'=1[/tex] ?

С неработавших на уроке так же: убедиться, что функции вида [tex]y=A \cos x + B \sin x[/tex] решения дифференциального уравнения [tex]y'=-y[/tex].  


ДЗ (04.03):

(1) Убедиться, что [tex]A^3=E[/tex], если

$$A=\begin{pmatrix}
- \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\\
\frac{\sqrt{3}}{2}  & - \frac{1}{2}
\end{pmatrix}$$

(2) Найти [tex]A^{1000000}[/tex]


ДЗ (было задано примерно 9 февраля 2021, скоро появится в эл. журнале и со всех спрошу!):

(тема - физические приложения дифференциальных уравнений и задачи Коши).

Груз массы [tex]m=5[/tex] на пружине с жесткостью (в законе Гука) [tex]k=2[/tex] (то есть [tex]F_{пружины}= - kx[/tex] ), сила трения пропорциональна скорости [tex]F_{трения}=-20 \cdot V[/tex]. В начальный момент времени [tex]t=0[/tex] координата груза [tex]x(0)=1[/tex], а начальная скорость [tex]V(0)=2[/tex]

Пришли к выводу, что такая физическая задача описывается следующей задачей Коши:

 $$\left\{\begin{matrix}
-2x-20x'=5x'' \color {blue}{(это \; закон \; Ньютона \;  F=ma)}\\ 
x(0)=1 \color {blue}{(положение  \;  груза \;  в \; начальный \; момент \; времени)}\\ 
x'(0)=2 \color {blue}{(начальная \;  скорость \; груза, \;  v=x')}
\end{matrix}\right.$$

Найдите закон движения груза [tex]\color {blue} {x(t)=?}[/tex]


ДЗ задано 19.03.20:

$$B=\begin{pmatrix}
0 & 1\\ 
-1 & 0
\end{pmatrix}$$

  • Убедиться, что [tex]\color {blue} {B^4=E}[/tex], выписать все степени этой матрицы [tex]B^2, \; B^3, B^4[/tex]
  • Найти, используя предыдущий пункт,  [tex]\color {blue} {B^{1535}=?}[/tex]

ДЗ 2 пг, задано 22.03, 1 пг, задано 25.03:

Решить систему $$\left\{\begin{matrix}
3x+6y=1\\ 
2x+5y=2
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \begin{pmatrix}
3 & 6\\ 
2 & 5
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\ 
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1\\ 
2
\end{pmatrix}$$

  • методом обратной матрицы
  • методом Крамера

ДЗ 01.04.2021 Решить СЛАУ (по алгоритму решения произвольной СЛАУ)

$$\left\{\begin{matrix}
x+y+z+t=1                                                                                                                                                                                 \\ 
x-y+2z-t=1\\ 
2x + 0 + 3z+ 0 = 2\\ 
0+2y-z+2t=0 
\end{matrix}\right.$$


ДЗ пг.1 (на 08.04.21):

Решить СЛАУ по алгоритму решения произвольной СЛАУ

$$\left\{\begin{matrix}
x+y=1\\ 
2x+2y=1
\end{matrix}\right. , \; \; \; \left\{\begin{matrix}
x+y=1\\ 
2x+2y=2
\end{matrix}\right.$$


ДЗ (всей группе)- решить СЛАУ (по алгоритму решения произвольной СЛАУ) оценка за него 1- урок 08.04:

$$\left\{\begin{matrix}
x-y+z-t=1\\ 
x+y+z+t=1\\ 
x-y-z+t=1\\ 
-x+y+z+t=-1
\end{matrix}\right.$$

Категория: 2020-2021 | Добавил: admin (30.08.2020)
Просмотров: 222 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Имя *:
Email *:
Все смайлы
Код *: