Тригонометрия. Вспомним всё!

Простейшие тригонометрические уравнения:



[tex]cos (x)=a, \left | a \right |\leqslant 1[/tex] решение: [tex]x= \pm arccos (a)+2 \pi k, k\in \mathbb{Z}[/tex]

[tex]sin (x)=a, \left | a \right |\leqslant 1[/tex] решение: [tex]x= (-1)^k arcsin (a)+ \pi k, k\in \mathbb{Z}[/tex]

[tex]tg (x)=a[/tex] решение: [tex]x=arctg (a)+ \pi k, k\in \mathbb{Z}[/tex]

[tex]ctg (x)=a[/tex] решение: [tex]x=arcctg (a)+ \pi k, k\in \mathbb{Z}[/tex]

Преобразование тригонометрических выражений:

формулы для суммы и разности аргументов:
$$sin ( \alpha \pm \beta )= sin ( \alpha ) cos ( \beta ) \pm cos(\alpha)sin(\beta)$$
$$cos ( \alpha \pm \beta )= cos ( \alpha ) cos ( \beta ) \mp sin(\alpha)sin(\beta)$$
$$tg ( \alpha \pm \beta )= \frac {tg(\alpha) \pm tg(\beta)}{1 \mp tg(\alpha) tg(\beta)}$$

формулы двойного аргумента:
$$sin ( 2 \alpha ) = 2 sin ( \alpha ) cos ( \alpha ) = \frac {2tg (\alpha)}{1 + tg^2 ( \alpha )}$$
$$cos  ( 2 \alpha ) = cos^2 ( \alpha )-sin^2 ( \alpha )= 2 cos^2 ( \alpha ) -1 = \\ =1-2 sin^2 ( \alpha ) = \frac {1-tg^2(\alpha)}{1+tg^2(\alpha)}$$
$$tg  ( 2 \alpha ) = \frac {2 tg(\alpha)}{1-tg^2(\alpha)}$$

Формулы для сумм тригонометрических функций:

$$sin (\alpha) \pm sin (\beta ) = 2 sin \left ( \frac {\alpha \pm \beta }{2} \right ) cos \left ( \frac {\alpha \mp \beta }{2} \right )$$
$$cos (\alpha) + cos (\beta ) = 2 cos \left ( \frac {\alpha + \beta }{2} \right ) cos \left ( \frac {\alpha - \beta }{2} \right )$$
$$cos (\alpha) - cos (\beta ) = -  2 sin \left ( \frac {\alpha + \beta }{2} \right ) sin \left ( \frac {\alpha - \beta }{2} \right )$$

$$a \cdot cos (\alpha )+b \cdot sin (\alpha )= r \cdot cos (\alpha -\color {blue} {\varphi} ) = r \cdot sin (\alpha + \color {red} {\theta} )$$
где 
$$r=\sqrt {a^2+b^2}$$
и
$$\color {blue} {cos (\varphi ) = \frac {a}{r}, sin (\varphi ) = \frac {b}{r}}$$
$$\color {red} {sin ( \theta ) = \frac {a}{r}, cos ( \theta ) = \frac {b}{r}}$$

распечатать