Дифференциальные уравнения


дифференциальное уравнение 1 порядка с разделяющимися переменными
Имеет вид или приводится к виду:  $$\large {\color {blue} {f(y)dy=g(x)dx}}$$
его общее решение (в неявном виде): [tex]\color {red} {\int f(y)dy=\int g(x)dx}[/tex]


линейное однородное дифференциальное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами.
Имеет вид [tex]\large {\color {blue} {ay{}''+by{}'+cy=0 }, \; \color {red} {a,b,c=const}}[/tex]
Алгоритм решения (нахождение общего решения ДУ):
  • дифференциальному уравнению [tex]\color {blue} {ay{}''+by{}'+cy=0 }[/tex] сопоставить характеристический многочлен [tex]\color {red} {a\lambda ^2+b\lambda +c=0}[/tex]
  • найти корни [tex]a\lambda ^2+b\lambda +c=0[/tex] (в зависимости от знака дискриминанта [tex]D=b^2-4ac[/tex] квадратного уравнения возможны случаи: пара разных вещественных корней, один вещественный корень кратности 2, пара комплексно- сопряженных корней)
  • По корням записать общее решение согласно таблице:  
    дискриминант корни [tex]\color {blue} {\Large \lambda_i}[/tex] общее решение ДУ
    [tex]\color {blue} {\Large D>0}[/tex] [tex]\color {blue} {\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}, \\ \lambda_1 \neq  \lambda_2  , \\ \lambda_{1,2}=\frac {-b \pm \sqrt {D}}{2a}}[/tex]
    (корни вещественные и разные)
    [tex]\color {blue} {y=  Ae^{\lambda_1 x}+Be^{\lambda_2 x}}[/tex]
    [tex]\color {blue} {\Large D=0}[/tex] [tex]\color {blue} {\lambda_1 = \lambda_2=\lambda \in \mathbb{R}, \\ \lambda = - \frac {b}{2a}}[/tex]
    (один вещественный корень кратности 2)
    [tex]\color {blue} {y= \left (Ax+B  \right )e^{\lambda x}}[/tex]
    [tex]\color {blue} {\Large D<0}[/tex] [tex]\color {blue} {\lambda_1 \neq \lambda_2,\; \\  \lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}, \\ \lambda_{1,2} = - \frac {b}{2a} \pm \frac {\sqrt{-D}}{2a} \cdot i= \\  = p \pm i \cdot q}[/tex]
    (пара комплексно- сопряженных корней)
    [tex]\color {blue} {y=\left (A\cos (qx) + B\sin (qx)  \right )e^{px}}[/tex]

распечатать