(перед задачами каждой группы тем список обсуждавшихся на парах вопросов)
асимптоты (графиков функций)- горизонтальные, вертикальные и наклонные.
Исследование функции. Асимптоты графика от bezbotvyЗадачи: найдите асимптоты графиков функции и схематично нарисуйте график функции (исследовать с помощью производной не надо!!! только асимптоты, знаки бесконечных односторонних пределов в точках разрыва можно находить
методом интервалов, известным из школы):
$$f(x)=\frac1 {(x-2)^2(x-3)(x-4)^4}, \; g(x)=\frac {x^2+1}{x-3}, \; h(x)=\frac {x^2+1}{x^2-1}$$
производные, таблица производных, правила дифференцирования, применение производной (экстремумы, промежутки возрастания и убывания, применение в физике- первая производная пути по времени это скорость, вторая производная- ускорение, уравнение касательной к графику функции в заданной точке) .
Задачи:найдите производные функций, используя правила дифференцирования и таблицу производных:
$$\left (5\sin x + 7 tg x -9 \ln x \right )', \;\left (x^5 \ln x \right )' , \; \left (\frac {x^5}{\ln x} \right )', \; \left (\ln^5 x \right )' , \; \left (\ln(x^5) \right )', \; \left (\sin(\sin(\sin(x))) \right )'$$
напишите
уравнение касательной к графику функции в заданной точке: [tex]f(x)= x^3, \; x_0=3[/tex] (поменял функцию и точку, потому что совпало с рассмотренным тут
http://dx.tom.ru/index/uravnenie_kasatelnoj/0-32 примером) Координата материальной точки меняется во времени по закону [tex]x(t)=5\sin 6t[/tex], найдите скорость и ускорение точки как функцию времени.
Найдите экстремумы функции (если они есть) с помощью производной (в точке экстремума производная равна нулю и меняет знак):
$$f(x)= \frac {x}{1+x^2}, \; h(x)=x^3$$
Дифференциал- что это такое (линейная по [tex]\Delta x[/tex] часть приращения функции [tex]\Delta f(x) = f(x+\Delta x) - f(x)[/tex]), как считаем, применение дифференциала в приближенных вычислениях. Вычисление дифференциала по определению.
Задачи:используя таблицу производных выпишите таблицу дифференциалов ( по формуле [tex]df(x)=f'(x)dx[/tex])для основных элементарных функций (это понадобится далее, когда будем считать интегралы методом замены переменной)
найдите по определению дифференциалы [tex]d(x^2), \; d(x^3)[/tex]
Используя формулу линейной аппроксимации с помощью дифференциала [tex]f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\Delta x[/tex] напишите приближенные значения для $$\sin (31^{\circ};), \; \sin (29^{\circ};), \; \cos (61^{\circ};), \; \cos (59^{\circ};)$$
Докажите, что для линейной функции [tex]y=kx+b[/tex] дифференциал равен приращению (распишите приращение такой линейной функции и убедитесь, что все приращение линейно по [tex]\Delta x[/tex]), требуется доказать, что [tex]\Delta (kx+b)=d(kx+b)[/tex]
Первоообразная и неопределенный интеграл (определения). Таблица интегралов. Свойство неопределенного интеграла- линейность. Методы интегрирования (замена переменной в неопределенном интеграле, интегрирование по частям).
Задачи:найдите неопределенные интегралы используя свойство линейности неопределенного интеграла и
таблицу интегралов: $$\int 5\sin x +\frac {5}{\sin^2 x} + 9e^x dx, \; \int 3\cos x - \frac {9}{\cos^2 x} + \frac {7}{x}dx, \; \\ \int 8x^7- \frac {9}{1+x^2}+ \frac {5}{\sqrt{1-x^2}}+9 \cos x dx $$
найдите неопределенные интегралы методом замены переменной (чтобы догадаться какую делать замену пригодится таблица дифференциалов основных элементарных функций, которую вы должны были выписать ранее):
$$\int \frac {arctg^5 x}{1+x^2} dx, \; \int \frac{e^{arctg(x)}}{1+x^2}dx, \; \int \sin ( \sin x ) \cdot \cos x dx, \\ \int \frac{arcsin^8x}{\sqrt {1-x^2}}dx, \; \int \frac{\cos (arcsin(x))}{\sqrt {1-x^2}} dx, \; \int \frac{e^{tg(x)}}{\cos^2 x} dx$$
найдите следующие интегралы методом интегрирования по частям [tex]\int u dv = uv - \int vdu[/tex]:
$$\int \ln x dx, \; \int x e^x dx, \; \int x \sin x dx, \; \int x \cos x dx, \; \int arctg (x)dx$$
методом интегрирования по частям понизить степень при [tex]x[/tex] в интеграле [tex]I_n = \int x^n e^x dx[/tex] какая получилась рекурсивная формула для интеграла, обозначенного [tex]I_n[/tex]? Найдите [tex]I_0 = \int x^0 e^x dx[/tex]. Используя полученную рекурсивную формулу и найденный [tex]I_0[/tex] найдите (последовательно, один за другим) интегралы $$I_1 = \int x^1 e^x dx, \; I_2 = \int x^2 e^x dx, \; I_3 = \int x^3 e^x dx, \; I_4 = \int x^4 e^x dx$$
Аналогочно, получите рекурсивные формулы для интегралов (понижая степень при [tex]x[/tex] методом интегрирования по- частям) [tex]A_n=\int x^n \cos x dx, \; B_n= \int x^n \sin x dx[/tex], найдите чему равны [tex]A_0, \; B_0[/tex] и используя полученные формулы найдите последовательно $$A_1=\int x \cos x dx, \; B_1=\int x \sin x dx, \\ A_2=\int x^2 \cos x dx, \; B_2=\int x^2 \sin x dx \\ A_3=\int x^3 \cos x dx, \; B_3=\int x^3 \sin x dx$$
Определенный интеграл (строится как предел интегральных сумм, мы рассматриваем интегральные суммы Римана, ввиду их большей наглядности и простоты для восприятия). Формула Ньютона- Лейбница, которую мы применяем для нахождения определенного интеграла. Применение интеграла к вычислениям площадей криволинейных трапеций, к нахождению объемов и площадей. Применение в физике - интегрирование ускорения позволяет находить скорость, повторное интегрирование- координату (это принцип работы инерциальных навигационных систем, интегрирование выполняется компьютером численно, на основе данных от акселерометров по трем осям и гироскопа).
