Пример (красным выделено начальное условие в задаче Коши для ДУ 2-го порядка):
$$\left\{\begin{matrix}
y''-2y'+y=0\\
\color {red} {y(0)=1}\\
\color {red} {y'(0)=2}
\end{matrix}\right.$$

находим общее решение:
характеристический многочлен и его корни [tex]\lambda ^2 -2\lambda +1=0[/tex]
так как [tex]\lambda ^2 -2\lambda +1= (\lambda -1)^2[/tex] то многочлен имеет один корень [tex]\lambda = 1[/tex] кратности 2 (дискриминант соответствующего квадратного уравнения нулевой).

Составляем общее решение ДУ (по найденным корням характеристического многочлена что делать см. по этой ссылке, если не помните): [tex]y(x)=(Ax+B)e^x[/tex]

Понадобится первая производная от общего решения (так как начальное условие содержит значение первой производной): $$y'(x)=\left ( (Ax+B)e^x \right )'= Ae^x+(Ax+B)e^x = (Ax+(A+B))e^x$$

Подставляем общее решение и его первую производную в начальное условие, получаем систему уравнений на константы в общем решении [tex](Ax+B)e^x = 1[/tex] при [tex]x=0[/tex] и [tex](Ax+(A+B))e^x = 2[/tex] при [tex]x=0[/tex].
То есть $$\left\{\begin{matrix}
B=1\\
A+B=2
\end{matrix}\right.$$

Откуда (решая эту систему) находим, что [tex]A=B=1[/tex]. При таких значениях констант в общем решении получается решение задачи Коши.
Итак, решение задачи Коши [tex]y(x)=(x+1)e^x[/tex]