[ Обновленные темы · Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]
  • Страница 1 из 1
  • 1
ФОРУМ » » Группа 681-2 » Матрицы (прямоугольные). Операции над матрицами. (тема + дз за понедельник, 23.03.2020)
Матрицы (прямоугольные). Операции над матрицами.
adminДата: Воскресенье, 22.03.2020, 20:16 | Сообщение # 1
Генерал-майор
Группа: Администраторы
Сообщений: 499
Репутация: 1
Статус: Offline
Матрицы.
Матрицы это прямоугольные таблицы (в круглых или квадратных скобках) каких либо математических объектов: мы будем рассматривать (и обычно такими матрицами и ограничиваются) матрицы над числовыми полями [tex]\mathbb{Q},\; \mathbb{R}, \mathbb{C}[/tex] (рациональные, вещественные и комплексные числа). Но в принципе матрицы можно строить над более экзотическими объектами- например над полем дробей многочленов.

Когда говорят [tex]A[/tex] матрица [tex]m \times n[/tex] значит в матрице [tex]A[/tex] [tex]m[/tex] строк и [tex]n[/tex] столбцов: $$\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1,n-1} & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2,n-1} & a_{2n}\\
... & ... & ... & ... & ...\\
a_{m-1,1} & a_{m-1,2} & ... & a_{m-1,n-1} & a_{m-1,n}\\
a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{m,n-1} & a_{mn}
\end{pmatrix}
$$
Каждый элемент матрицы [tex]a_{ij}[/tex] имеет два индекса, первый индекс номер строки, второй индекс номер столбца.
Например: $$A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & \color {red} 6
\end{pmatrix}
$$  матрица [tex]2 \times 3[/tex] (2 строки и 3 столбца) выделенный красным элемент [tex]a_{23}=6[/tex] расположен во 2-й строке и 3-м столбце.

$$B = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6
\end{pmatrix}$$
матрица [tex]3 \times 2[/tex] (3 строки и 2 столбца)

Операции над матрицами: сложение (и вычитание).
Прямоугольные матрицы одного размера (например оба операнда [tex]3 \times 4[/tex]) можно складывать и вычитать поэлементно - результатом будет матрица такого же размера как оба слагаемых (матрицы разных размеров складывать и вычитать нельзя!!!):
$$\begin{pmatrix}1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
6 & 7 \\
8 & 9 \\
2 & 5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1+6 & 2+7\\
3+8 & 4+9\\
5+2 & 6+5
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
7 & 9\\
11 & 13\\
7 & 11
\end{pmatrix}
$$

Умножение матриц на числа
Чтобы множить матрицу на число надо каждый ее элемент умножить на это число, например:
$$2 \cdot \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 \cdot 1 & 2 \cdot 2 & 2 \cdot 3 \\
2 \cdot 4 & 2 \cdot 5 & 2 \cdot 6
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 & 4 & 6 \\
8 & 10 & 12
\end{pmatrix}$$

Умножение прямоугольных матриц
(самая сложная для понимания операция над прямоугольными матрицами, на нее обратите особенное внимание!!!)
Число столбцов первой матрицы должно равняться числу строк второй матрицы!!! Иначе матрицы перемножить нельзя!!
!
Введем удобное обозначение (для указания диапазона в каком меняется индекс элементов матрицы) [tex]\overline{1,n} = \left \{ 1,2,3,...,n \right \}[/tex].
Матрица [tex]A= \left ( a_{ij} \right ),\; i \in \overline{1,m}, j \in \overline{1,p}[/tex]  размера [tex]m \times \color {red} p[/tex]
Матрица [tex]B= \left ( b_{ij} \right ),\; i \in \overline{1,p}, j \in \overline{1,n}[/tex] размера [tex]\color {red} p \times n[/tex]
(в первой матрице число столбцов  равно числу строк второй матрицы )
Их произведение [tex]C= A \cdot B = \left ( c_{ij} \right ),\; i \in \overline{1,m}, j \in \overline{1,n}[/tex]  матрица размера [tex]m \times n[/tex] , и элементы матрицы вычисляются по формуле:
$$\large {c_{ij}=\sum_{s=1}^{p}a_{is}b_{sj}=a_{i1}\cdot b_{1j} + a_{i2}\cdot b_{2j} + ...+a_{ip}\cdot b_{pj}}$$


Домашнее задание:

решаете на бумаге, фотографируете или сканируете и отсылаете мне в приват в электронном журнале

Найти
$$2 \cdot \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & 2\\
6 & -7 & 8 & 9
\end{pmatrix}+ 3 \cdot \begin{pmatrix}
4 & 6 & -3 & 1\\
2 & -3 & 1 & 0
\end{pmatrix}
$$

Найти произведения матриц:
$$\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & 2\\
0 & -1 & 2 & -3
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
-1 & 2\\
0  & -1\\
2 & 3\\
-1 & 1
\end{pmatrix}
$$
И те же матрицы перемножить в обратном порядке:
$$\begin{pmatrix}
-1 & 2\\
0  & -1\\
2 & 3\\
-1 & 1
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & 2\\
0 & -1 & 2 & -3
\end{pmatrix}
$$

Задача на повторение (линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами): найти общее решение [tex]y''+4y'+13y=0[/tex]
если есть вопросы по этому материалу, задавайте их в эту тему
 
ФОРУМ » » Группа 681-2 » Матрицы (прямоугольные). Операции над матрицами. (тема + дз за понедельник, 23.03.2020)
  • Страница 1 из 1
  • 1
Поиск:
Новый ответ
Имя:
Текст сообщения:
Все смайлы
Опции сообщения:
Код безопасности: