| admin | Дата: Воскресенье, 22.03.2020, 20:16 | Сообщение # 1 |
|
Генерал-майор
Группа: Администраторы
Сообщений: 499
Репутация: 1
Статус: Offline
| Матрицы.
Матрицы это прямоугольные таблицы (в круглых или квадратных скобках) каких либо математических объектов: мы будем рассматривать (и обычно такими матрицами и ограничиваются) матрицы над числовыми полями [tex]\mathbb{Q},\; \mathbb{R}, \mathbb{C}[/tex] (рациональные, вещественные и комплексные числа). Но в принципе матрицы можно строить над более экзотическими объектами- например над полем дробей многочленов.
Когда говорят [tex]A[/tex] матрица [tex]m \times n[/tex] значит в матрице [tex]A[/tex] [tex]m[/tex] строк и [tex]n[/tex] столбцов: $$\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1,n-1} & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2,n-1} & a_{2n}\\
... & ... & ... & ... & ...\\
a_{m-1,1} & a_{m-1,2} & ... & a_{m-1,n-1} & a_{m-1,n}\\
a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{m,n-1} & a_{mn}
\end{pmatrix}
$$
Каждый элемент матрицы [tex]a_{ij}[/tex] имеет два индекса, первый индекс номер строки, второй индекс номер столбца.
Например: $$A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & \color {red} 6
\end{pmatrix}
$$ матрица [tex]2 \times 3[/tex] (2 строки и 3 столбца) выделенный красным элемент [tex]a_{23}=6[/tex] расположен во 2-й строке и 3-м столбце.
$$B = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6
\end{pmatrix}$$
матрица [tex]3 \times 2[/tex] (3 строки и 2 столбца)
Операции над матрицами: сложение (и вычитание).
Прямоугольные матрицы одного размера (например оба операнда [tex]3 \times 4[/tex]) можно складывать и вычитать поэлементно - результатом будет матрица такого же размера как оба слагаемых (матрицы разных размеров складывать и вычитать нельзя!!!):
$$\begin{pmatrix}1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
6 & 7 \\
8 & 9 \\
2 & 5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1+6 & 2+7\\
3+8 & 4+9\\
5+2 & 6+5
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
7 & 9\\
11 & 13\\
7 & 11
\end{pmatrix}
$$
Умножение матриц на числа
Чтобы множить матрицу на число надо каждый ее элемент умножить на это число, например:
$$2 \cdot \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 \cdot 1 & 2 \cdot 2 & 2 \cdot 3 \\
2 \cdot 4 & 2 \cdot 5 & 2 \cdot 6
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 & 4 & 6 \\
8 & 10 & 12
\end{pmatrix}$$
Умножение прямоугольных матриц
(самая сложная для понимания операция над прямоугольными матрицами, на нее обратите особенное внимание!!!)
Число столбцов первой матрицы должно равняться числу строк второй матрицы!!! Иначе матрицы перемножить нельзя!!!
Введем удобное обозначение (для указания диапазона в каком меняется индекс элементов матрицы) [tex]\overline{1,n} = \left \{ 1,2,3,...,n \right \}[/tex].
Матрица [tex]A= \left ( a_{ij} \right ),\; i \in \overline{1,m}, j \in \overline{1,p}[/tex] размера [tex]m \times \color {red} p[/tex]
Матрица [tex]B= \left ( b_{ij} \right ),\; i \in \overline{1,p}, j \in \overline{1,n}[/tex] размера [tex]\color {red} p \times n[/tex]
(в первой матрице число столбцов равно числу строк второй матрицы )
Их произведение [tex]C= A \cdot B = \left ( c_{ij} \right ),\; i \in \overline{1,m}, j \in \overline{1,n}[/tex] матрица размера [tex]m \times n[/tex] , и элементы матрицы вычисляются по формуле:
$$\large {c_{ij}=\sum_{s=1}^{p}a_{is}b_{sj}=a_{i1}\cdot b_{1j} + a_{i2}\cdot b_{2j} + ...+a_{ip}\cdot b_{pj}}$$
Домашнее задание:
решаете на бумаге, фотографируете или сканируете и отсылаете мне в приват в электронном журнале
Найти $$2 \cdot \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & 2\\
6 & -7 & 8 & 9
\end{pmatrix}+ 3 \cdot \begin{pmatrix}
4 & 6 & -3 & 1\\
2 & -3 & 1 & 0
\end{pmatrix}
$$
Найти произведения матриц:
$$\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & 2\\
0 & -1 & 2 & -3
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
-1 & 2\\
0 & -1\\
2 & 3\\
-1 & 1
\end{pmatrix}
$$
И те же матрицы перемножить в обратном порядке:
$$\begin{pmatrix}
-1 & 2\\
0 & -1\\
2 & 3\\
-1 & 1
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & 2\\
0 & -1 & 2 & -3
\end{pmatrix}
$$
Задача на повторение (линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами): найти общее решение [tex]y''+4y'+13y=0[/tex]
если есть вопросы по этому материалу, задавайте их в эту тему
|
| |
| |
