[ Обновленные темы · Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]
  • Страница 1 из 1
  • 1
ФОРУМ » » Группа 681-1 » Алгоритм решения произвольной СЛАУ (набирается)
Алгоритм решения произвольной СЛАУ
adminДата: Вторник, 19.05.2020, 05:33 | Сообщение # 1
Генерал-майор
Группа: Администраторы
Сообщений: 499
Репутация: 1
Статус: Offline
Алгоритм решения произвольной СЛАУ.

  • построить матрицу системы [tex]A[/tex] и расширенную матрицу системы [tex]A^*[/tex].
  • (надо найти ранги,  это можно сделать например методом элементарных преобразований строк расширенной матрицы системы, преобразуя матрицу к диагональному или треугольному виду) Если [tex]Rg A \neq Rg A^*[/tex] у системы нет решений (выход из алгоритма решения), иначе
  • Искать базисный минор  [tex]A[/tex] (если его не видно сразу, то например методом элементарных преобразований строк расширенной матрицы). Строки (и соотвествующие им уравнения), которые не вошли в базисный минор надо отбросить, они следствие (линейная комбинация) строк, входящих в базисный минор.  
  • (классификация переменных на зависимые и свободные) переменные, коэффициенты при которых вошли в базистный минор- это зависимые переменные (они будут выражаться через свободные переменные), а которые не вошли в него- свободные переменные
  • любым удобным способом решаете систему (Крамера, Гаусса)- выражая зависимые переменные через свободные


Примечание (важное!!!): если для нахождения рангов вы использовали метод элементарных преобразований строк расширенной матрицы, то вы преобразовали исходную систему в ей эквивалентную, но уже с треугольной или диагональной матрицей, она как правило значительно проще исходной системы. Так вот решать можно не исходную систему, а ей эквивалентную, полученную элементарными преобразованиями строк, множество решений будет то же самое.

Пример (умышленно простой пример, чтобы было видно как применять алгоритм, не затрачивая чрезмерных усилий на техническую часть вычислений):

$$\left\{\begin{matrix}
x+y+z=1\\
-x+y+z=2\\
2y+2z=3
\end{matrix}\right.
$$

Тут третье уравнение сумма первых двух, и его можно отбросить, будет эквивалентная система (если бы мы выясняли это через ранги матрицы и расширенной матрицы методом элементарных преобразований строк расширенной матрицы мы бы смогли получить третью строку из нулей, вычитая из третьей строки первую и вторую строку, в данном случае это особо и не нужно, так как получить информацию о рангах матриц можно более простым путем, в силу простоты данной системы)

$$A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
-1 & 1 & 1\\
0 & 2 & 2
\end{pmatrix}, \; A^*= \left (\left.\begin{matrix}
1 & 1 & 1\\
-1 & 1 & 1\\
0 & 2 & 2
\end{matrix}\right| \begin{matrix}
1\\
2\\
4
\end{matrix} \right )$$

[tex]Rg \; A = Rg \; A^* = 2[/tex], так как третья строка сумма первых  двух, и есть общий ненулевой минор [tex]\begin{vmatrix}
1 & 1\\
-1 & 1
\end{vmatrix} = 2 \neq 0[/tex]

Базисный минор  [tex]\begin{vmatrix}
1 & 1\\
-1 & 1
\end{vmatrix} = 2 \neq 0[/tex]

Переменная [tex]z[/tex] свободная,  переменные [tex]x,y[/tex] зависимые (выражаются через [tex]z[/tex])

Теперь систему можно записать в таком виде: $$\left\{\begin{matrix}
x+y=1-z\\
-x+y=2-z
\end{matrix}\right.
$$

(третье уравнение системы отброшено, так как следствие первых двух,  оно их сумма; переменные классифицированы на зависимые и свободные)

данную систему теперь легче решать исключением неизвестных, например сложили два уравнения, исключается [tex]x[/tex]:
$$2y=3-2z\Rightarrow y= \frac {3}{2}-z$$
Вычитая второе уравнение из первого исключаем [tex]y[/tex]:
$$2x=-1 \Rightarrow x = -\frac {1}{2}$$

Итог: решение системы [tex]x = -\frac {1}{2}, \; y= \frac {3}{2}-z, \; z[/tex]- свободная переменная

Домашнее задание: решить следующие СЛАУ по общему алгоритму решения линейных систем: $$\left\{\begin{matrix}
x+y=2\\
2x+2y=3
\end{matrix}\right. ; \;\;\; \left\{\begin{matrix}
x+y=2\\
2x+2y=4
\end{matrix}\right.
$$
 
ФОРУМ » » Группа 681-1 » Алгоритм решения произвольной СЛАУ (набирается)
  • Страница 1 из 1
  • 1
Поиск:
Новый ответ
Имя:
Текст сообщения:
Все смайлы
Опции сообщения:
Код безопасности: