[ Обновленные темы · Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]
  • Страница 1 из 1
  • 1
ФОРУМ » » Группа 681-1 » СЛАУ, продолжение (28.04 681-1(1), 29.04 681-2)
СЛАУ, продолжение
adminДата: Вторник, 28.04.2020, 03:10 | Сообщение # 1
Генерал-майор
Группа: Администраторы
Сообщений: 499
Репутация: 1
Статус: Offline
  • пара 28.04.2020 подгруппа 1
  • пара 29.04.2020 подгруппа 2


Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Начало этой темы по ссылке.


Геометрический смысл СЛАУ для систем с небольшим количеством неизвестных (2 или 3).

Когда количество неизвестных СЛАУ небольшое, 2 или 3 неизвестных, то есть очень наглядная геометрическая иллюстрация СЛАУ и ее решений на плоскости или в пространстве.

СЛАУ с двумя неизвестными
В этом случае можно обойтись без индексов для переменных, а просто обозначить переменные двумя разными буквами [tex]x, \; y[/tex].
Имеет вид: $$\left\{\begin{matrix}
ax+by=f\\
cx+dy=g
\end{matrix}\right.
$$
Каждую пару [tex](x,y)[/tex] можно рассматривать как декартовы координаты точки на плоскости. Решения СЛАУ образуют какое то подмножество точек на плоскости. А какое мы это сейчас и будем выяснять.

Каждое из уравнений системы по отдельности описывает какую то прямую на плоскости, так как представляет из себя именно уравнение прямой на плоскости.

Решение системы это те точки плоскости, которые одновременно попали на две этих прямых.
Соответственно возможны случаи:
  • прямые параллельны и не пересекаются, тогда общих точек прямых нет, система решений не имеет.
  • прямые совпадают (два уравнения системы пропорциональны). Тогда решения это целая прямая, которая есть эти совпадающие прямые.
  • Прямые пересекаются в одной точке, решение единственное.


СЛАУ с тремя неизвестными
Имеет вид: $$\left\{\begin{matrix}
a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=p\\
a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=q\\
a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=r
\end{matrix}\right.
$$
Каждое уравнение по отдельности есть уравнение плоскости в пространстве. И как и в предыдущем случае возможно наглядно представить поведение решений такой системы.
Соответственно возможны варианты:
  • все плоскости параллельны и не имеют общих точек, нет решений
  • три плоскости пересекаются в единственной точке, как на картинке. единственное решение.
  • три плоскости пересекаются по прямой, множество решений одномерная прямая.
  • все три плоскости совпали, множество решений эта самая плоскость, двумерное множество решений, плоскость в пространстве.


В случае большего количества переменных картина аналогична (либо нет решений, либо единственное решение, бесконесное множество решений, какого то количества измерений) но в таком случае мы не можем это представить так же наглядно как для 2 или 3 переменных (наш мозг не воспринимает больше 3-х измерений, так как мы эвлюционировали именно в таком трехмерном мире).


Для понимания дальнейшего материала, нам понадобится понятие ранг матрицы.

Ранг матрицы.
Ранг матрицы — наивысший из порядков всевозможных ненулевых миноров этой матрицы. Ранг нулевой матрицы любого размера ноль. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг равен единице, и т.д.


На практике (это нужно при решении СЛАУ) ранг матрицы находят элементарными преобразованиями строк, которые не меняют ранга матрицы (и переводят СЛАУ в равносильную ей СЛАУ, то есть с тем же множеством решений). Это преобразования строк из списка, их называют элементарные преобразования матрицы
  • перестановку местами любых двух строк матрицы;
  • умножение любой строки матрицы на константу [tex]k, \; k\neq 0[/tex] при этом определитель матрицы увеличивается в k раз;
  • прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на некоторую константу.


Ранг ищется так: элементарными преобразованиями матрицу приводят к треугольному или диагональному виду, в этих случаях ранг матрицы буквально видим невооруженным глазом.

Например: надо найти ранг матрицы $$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
5 & 7 & 9
\end{pmatrix}
$$

(в ней третья строка сумма первых двух, это чтобы мы знали заранее ответ, какой ранг- он не больше 2, так как только две строки линейно независимы, но и не меньше двух, минор  [tex]\begin{vmatrix}
1 & 2\\
4 & 5
\end{vmatrix}=-3\neq 0[/tex])

Применяя  элементарные преоразования к строкам получаем:
$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
5 & 7 & 9
\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
4 & 5 & 6
\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}
\color {red}{1} &\color {red}{ 2} & 3\\
\color {red}{0} & \color {red}{-3} & -6\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
Делали следующее:
  • вычли 1 строку из 3
  • вычли 2 строку из 3
  • вычли из 2 строки первую умноженную на 4


Красным выделен ненулевой треугольный минор порядка 2, из чего следует что ранг матрицы = 2, потому что единственный минор порядка 3 нулевой.

Базисный минор

Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю. Система строк (столбцов) матрицы, связанных с базисным минором, является максимальной линейно независимой подсистемой системы всех строк (столбцов) матрицы.

Теорема Кронеккера - Капелли (это критерий совместности СЛАУ, то есть когда у СЛАУ есть решения).
Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу её основной матрицы.

Пример: является ли система уравнений совместной (= имеет ли решения)?
$$\left\{\begin{matrix}
5x+3y=7\\
10x+3y=8
\end{matrix}\right.
$$
Ответ: совместна, ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен 2, так как ненулевой минор $$\begin{vmatrix}
5 & 3\\
10 & 3
\end{vmatrix}=5 \cdot 3 - 10 \cdot 3 = - 15
$$
общий для матрицы системы и расширенной матрицы, миноров большего порядка нет.

Домашнее задание: исследуйте системы на совместность (существование решения) при помощи теоремы Кронеккера - Капелли (или приводите расширенные матрицы систем элементарными преобразованиями строк к диагональному или треугольному виду или просто смотрите все миноры в матрицах, они небольшие).
$$\left\{\begin{matrix}
x+2y=1\\
2x+4y=2
\end{matrix}\right. ;  \; \left\{\begin{matrix}
x+2y=1\\
2x+4y=1
\end{matrix}\right. ; \; \left\{\begin{matrix}
x+2y=1\\
x+4y=2
\end{matrix}\right.
$$
 
ФОРУМ » » Группа 681-1 » СЛАУ, продолжение (28.04 681-1(1), 29.04 681-2)
  • Страница 1 из 1
  • 1
Поиск:
Новый ответ
Имя:
Текст сообщения:
Все смайлы
Опции сообщения:
Код безопасности: