| admin | Дата: Вторник, 21.04.2020, 10:22 | Сообщение # 1 |
|
Генерал-майор
Группа: Администраторы
Сообщений: 496
Репутация: 1
Статус: Offline
| 681-1 (подгруппа 2)- 21.04, 681-1 ( подгруппа 1) - 23.04
Системы линейных алгебраических уравнений. Матричная запись СЛАУ.
Система [tex]m[/tex] линейных алгебраических уравнений с [tex]n[/tex] неизвестными имеет вид:
$$\left\{\begin{matrix}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\
.........................\\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m
\end{matrix}\right.
$$
Используя операцию умножения матриц, эту систему можно записать в матричном виде:
Матрица размера [tex]m \times n[/tex] называется матрица системы и имеет вид:
$$A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\
...&....&...&...\\
a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}\\
\end{pmatrix}
$$
Матрицы $$X=\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
...\\
x_n
\end{pmatrix}, \; B=\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2\\
...\\
b_m
\end{pmatrix}
$$
Называются столбец неизвестных и столбец свободных членов соответственно.
Матричная запись СЛАУ, подробно $$\color {blue} { \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{pmatrix} }
$$
Или то же кратко, в уже введенных обозначениях [tex]A \cdot X = B[/tex] (столбец неизвестных, умноженный слева на матрицу системы равен столбцу свободных членов)
При изучении систем линейных алгебраических уравнений используют так же расширенную матрицу системы размера [tex]m \times \left (n+1 \right )[/tex], которую обозначают, например (буква матрицы с каким то значком, звездочкой, чертой сверху и т.п.), $$A^\ast = \left (\left.\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{matrix}\right| \begin{matrix} \color {red} {b_1} \\ \color {red} {b_2} \\ \color {red} {...} \\ \color {red} {b_m} \end{matrix} \right )$$
красным выделен столбец свободных членов, который дописывается после черты к матрице системы, так и получается расширенная матрица системы
Домашнее задание:
Дана система трех линейных алгебраических уравнений c четырьмя неизвестными:
$$\left\{\begin{matrix}
2x_1+3x_2-x_3+x_4=2\\
3x_1+2x_2+x_3-x_4=3\\
5x_1-3x_2-x_3+x_4=4\
\end{matrix}\right.
$$
Для этой системы запишите матрицу системы, столбец неизвестных, столбец свободных членов и расширенную матрицу системы;
И используя это запишите эту систему в матричной форме подробно, как выше (то, что выделено выше синим).
Анонс: до конца часов по предмету надо успеть обсуждить: как решать СЛАУ? Как могут выглядеть решения в разных случаях (решения может не быть, решение может быть единственным, решений может быть бесконечно много). Ранг матрицы, что это такое? Алгоритм решения произвольной СЛАУ.
|
| |
| |
