[ Обновленные темы · Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]
  • Страница 1 из 1
  • 1
ФОРУМ » » Группа 681-1 » Определитель произвольного порядка. (681-1(1)- 13.04.20, 681-1(2)-18.04.20)
Определитель произвольного порядка.
adminДата: Понедельник, 13.04.2020, 05:50 | Сообщение # 1
Генерал-майор
Группа: Администраторы
Сообщений: 496
Репутация: 1
Статус: Offline
681-1, подгруппа 1- понедельник, 13.04.20
681-2, подгруппа 2- суббота, 18.04.20


Ранее рассматривали: определитель квадратной матрицы показывает есть ли линейная зависимость ее строк и столбцов, рассмотрели формулы определителя порядка 1, 2, 3).

Определитель квадратной матрицы произвольного порядка. Как его построить?

Наиболее просто для понимания рекурсивное построение определителя разложением по строке или столбцу. Это связано с тем что при таком подходе нужен самый минимум знаний в алгебре (например построение через  перестановки требует предварительного изложения -что такое перестановки, инверсии в перестановке- все это несложно, но требует времени, которого в техникумах нет; получаемые таким путем формулы имеют скорее теоретическое значение, на практике вычислять определитель по таким формулам может компьютер, но не человек на бумаге, количество слагаемых быстро растет как факториал). Поэтому мы рассмотрим именно рекурсивное построение определителя через разложение по строке или столбцу (часто достаточно даже разложения по 1-й строке или 1-му столбцу).

Далее понадобятся понятия дополнительного минора к элементу квадратной матрицы (или определителя) и алгебраического дополнения к элементу квадратной матрицы или определителя..

Дополнительный минор и алгебраическое дополнение к элементу матрицы [tex]n \times n[/tex] или определителя.
Если в квадратной матрице или определителе выбрать элемент [tex]a_{ij}[/tex] (расположен в i строке и j столбце), то можно вычеркнуть строку и столбец где расположен этот элемент матрицы или определителя. При таком вычеркивании порядок матрицы/ определителя станет на единицу меньше. Определитель получившейся при этом матрицы размера [tex](n-1) \times (n-1)[/tex] и называется дополнительным минором [tex]M_{ij}[/tex] для элемента матрицы [tex]a_{ij}[/tex].
Алгебраическое дополнение это этот же минор, только взятый с определенным знаком: $$A_{ij}=(-1)^{j+j} \cdot M_{ij}$$


Разложение определителя по произвольной строке столбцу:

  • разложение по [tex]i[/tex] строке $$\Delta = \sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot M_{ij}$$ с использованием алгебраического дополнения эта формула имеет вид $$\Delta = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$$
  • разложение по [tex]j[/tex] столбцу $$\Delta = \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot M_{ij}$$ с использованием  алгебраического дополнения эта формула имеет вид $$\Delta = \sum_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$$


Разложение по 1-й строке имеет вид: $$\Delta = \sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j} \cdot a_{1j} \cdot M_{1j}= \sum_{j=1}^{n}a_{1j}A_{1j}$$

Собственно эти формулы и дают то, что называется рекурсивное построение определителя: они выражают определитель порядка [tex]n[/tex] (матрицы размера [tex]n \times n[/tex] ) через определители порядка [tex]n-1[/tex] (через определители матриц размера [tex](n-1) \times (n-1)[/tex] ).
Имеем следующую ситуацию:
  • мы знаем определитель порядка [tex]1[/tex] (матрицы [tex]1 \times 1[/tex])
  • у нас есть формулы, как определитель следующего порядка выразить через определитель порядка на единицу меньше


Рекурсия в том, что определитель определяется через определитель на единицу меньшего порядка. Как это работает? Знаем формулу для определителя 1- го порядка. По рекурсивной формуле можем найти определитель второго порядка. Умея вычислять определители второго порядка мы сможем вычислять определители третьего порядка и т.д. И так доберемся до произвольного порядка.

Примеры:

Получится ли формула для определителя второго порядка, которую мы знаем? Получится  $$\begin{vmatrix}
a & b\\
c & d
\end{vmatrix}=(-1)^{1+1}ad+(-1)^{1+2}bc=ad-bc
$$
Написать разложение определителя третьего порядка, не вычисляя его: $$\begin{vmatrix}
-1 & 2 & 3\\
-2 & -1 & 2\\
1 & 2 & -3
\end{vmatrix}= \\ =(-1)^{1+1}\cdot (-1) \cdot \begin{vmatrix}
-1 & 2\\
2 & 3
\end{vmatrix}+(-1)^{1+2} \cdot 2 \cdot \begin{vmatrix}
-2 & 2\\
1 & -3
\end{vmatrix}+(-1)^{1+3} \cdot 3 \cdot \begin{vmatrix}
-2 & -1\\
1 & 2
\end{vmatrix}
$$
Домашнее задание:

Дана матрица [tex]3 \times 3, \; A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}[/tex]
  • запишите и сосчитайте (по формуле определителя 2- го порядка) дополнительные миноры к следующим элементам этой матрицы [tex]a_{12}=2, \; a_{23}=6, \; a_{33}=9[/tex] (как в примере выше)
  • Найдите алгебраические дополнения к этим же элементам матрицы
  • Напишите разложение определителя этой матрицы по первой строке


Если есть вопросы по этому материалу, задавайте их в эту тему.

У большинства долги по заданиям за период дистанционного обучения. Сначала это превратится в двойки, если двойки не будут исправлены до экзамена, вот вы все это будете на экзамене решать. А я буду медитировать и смеятся над вашими страданиями. Учить надо было вовремя.

Анонс на следующую неделю:
начинаем системы линейных алгебраических уравнений (сокращают СЛАУ). Как выглядят, матричная запись, общие сведения о том какие могут быть решения, еще через неделю учимся их решать.

Я помню, что нескольким студентам говорил поищу наглядные материалы как умножать матрицы, или сам нарисую. Не успел. Пока есть ссылки на видео в этом разделе.
 
ФОРУМ » » Группа 681-1 » Определитель произвольного порядка. (681-1(1)- 13.04.20, 681-1(2)-18.04.20)
  • Страница 1 из 1
  • 1
Поиск:
Новый ответ
Имя:
Текст сообщения:
Все смайлы
Опции сообщения:
Код безопасности: