[ Обновленные темы · Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]
  • Страница 1 из 1
  • 1
ФОРУМ » » Группа 681-1 » Квадратные матрицы: единичная и обратная. Определители. (материал за 07.04.2020 и домашнее задание)
Квадратные матрицы: единичная и обратная. Определители.
adminДата: Вторник, 07.04.2020, 05:08 | Сообщение # 1
Генерал-майор
Группа: Администраторы
Сообщений: 499
Репутация: 1
Статус: Offline
Ранее мы рассматривали операцию умножения прямоугольных матриц. Выполняя домашнее задание, вы могли обратить внимание, что умножение матриц некоммутативно, то есть [tex]A \cdot B \neq B \cdot A[/tex], для прямоугольных матриц кроме того число столбцов первого множителя должно равняться числу строк второго множителя (иначе матрицы умножить нельзя). Квадратные матрицы одного размера [tex]n \times n[/tex] умножить можно всегда.
Среди квадратных матриц есть единичная матрица, обозначается [tex]E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0  & 1 & ... & 0 & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & 1 & 0\\ 0 & 0 & ... & 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex] (по диагонали 1, остальное 0)

Единичная матрица ведет себя подобно единице относительно операции умножения матриц [tex]A \cdot E = E \cdot A = A[/tex].

Обратная матрица для квадратной матрицы [tex]A[/tex] обозначается [tex]A^{-1}[/tex] и определяется так:  [tex]A \cdot A^{-1}=A^{-1} \cdot A=E[/tex]. Это определение не дает возможности сказать существует ли для конкретной квадратной матрицы обратная матрица. Чтобы проверить существование обратной матрицы нужно ввести понятие определителя квадратной матрицы.

Определитель квадратной матрицы.
определитель это число (или еще говорят "скалярная величина") которое ставится в соответствие квадратной матрице и вычисляется через ее элементы. Определитель квадратной матрицы [tex]A[/tex] обозначается [tex]\left | А \right |[/tex] или [tex]\det A[/tex].
Определители для матриц 1, 2 и 3 порядка:
Определитель квадратной матрицы 1-го порядка:  [tex]\left | a \right | = a[/tex]
Определитель квадратной матрицы 2-го порядка:[tex]\begin{vmatrix}
a & b\\
c & d
\end{vmatrix} = ad-bc[/tex]
Определитель квадратной матрицы 3-го порядка:
[tex]\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}= a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}+a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} + a_{21} \cdot a_{32} \cdot a_{13} - a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{13} - a_{21} \cdot a_{12} \cdot a_{33} - a_{32} \cdot a_{23} \cdot a_{11}[/tex]

Критерий существования обратной матрицы (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы): [tex]\exists A^{-1} \Leftrightarrow  \det A \neq 0[/tex] (обратная матрица существует тогда и только тогда, когда определитель матрицы отличен от нуля)

Некоторые свойства определителя:

  • Определитель произведения матриц равен произведению определителей: [tex]\left | A \cdot B \right | = \left | A \right | \cdot \left | B  \right |[/tex]
  • если умножить матрицу на число, определитель умножится на это число в степени порядок матрицы [tex]\left | \alpha \cdot A \right | = \alpha ^n \left | A \right |[/tex]
  • если строку или столбец матрицы умножить на какое то число то ее определитель умножается на это число.
  • если матрица содержит две одинаковых строки или столбца, то ее определитель 0.
  • Если строки (или столбцы) матрицы линейно зависимы, то ее определитель 0.
  • Если из какой то строки (или столбца) матрицы вычесть (или прибавить) другую ее строку (столбец) то определитель матрицы не изменится.


Словами можно сказать так: определитель матрицы показывает наличие или отсутствие линейной зависимости строк и столбцов матрицы (ненулевой определитель-  строки и столбцы матрицы линейно независимы, нулевой определитель - строки и столбцы матрицы линейно зависимы).

Кто забыл: Что такое линейная зависимость или независимость (векторов)?

На следующей паре рассмотрим: как построить определители квадратных матриц произвольного порядка.

Домашнее задание (решить на бумаге, прислать фото через электронный журнал или если эл. журнал не работает через мудл, прикрепляя ответом на домашнее задание за 07.04.2020):

Даны матрицы:
[tex]A=\begin{pmatrix}
1 & 4\\
2 & 3
\end{pmatrix}
, \; \; \; B= \begin{pmatrix}
4 & 6\\
2 & 3
\end{pmatrix}[/tex]
Найдите:
  • определитель [tex]\left | A \right |[/tex]
  • определитель [tex]\left | B \right |[/tex]
  • определитель произведения матриц [tex]\left | A \cdot B \right |[/tex] (сначала можете подумать: обязательно ли искать произведение матриц и затем находить определитель этого произведения, если вам известны определители каждой матрицы?)


Так же ответить на вопрос: существуют ли обратные матрицы [tex]A^{-1}, \; B^{-1}, \; \left ( A \cdot B \right )^{-1}[/tex] ?
Если возникают вопросы задавайте их прямо сюда!
 
ДенисДата: Среда, 08.04.2020, 12:48 | Сообщение # 2
Группа: Гости





Все понял
 
ФОРУМ » » Группа 681-1 » Квадратные матрицы: единичная и обратная. Определители. (материал за 07.04.2020 и домашнее задание)
  • Страница 1 из 1
  • 1
Поиск:
Новый ответ
Имя:
Текст сообщения:
Все смайлы
Опции сообщения:
Код безопасности: