[ Обновленные темы · Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]
  • Страница 1 из 1
  • 1
ФОРУМ » » Группа 481 » Определенный интеграл
Определенный интеграл
adminДата: Суббота, 16.05.2020, 11:08 | Сообщение # 1
Генерал-майор
Группа: Администраторы
Сообщений: 496
Репутация: 1
Статус: Offline
Определенный интеграл

Определенный интеграл это предел интегральных сумм построенных тем или иным образом, что его отличает от неопределенного интеграла (множества всех первообразных).

Мы рассмотрим построение определенного интеграла через предел интегральных сумм Римана.


Пусть [tex]f: [a,b]  \mapsto \mathbb{R}[/tex] вещественная функция, определенная на отрезке [tex][a,b][/tex].  [tex]a=x_{0}[tex]\Delta x_{i}=x_{i}-x_{{i-1}}[/tex] длина отдельного отрезка из разбиения.
На каждом отрезке разбиения выбираем точку [tex]\xi _{i}\in [x_{{i-1}},x_{i}][/tex] и строим интегральную сумму Римана
$$\sum \limits _{{i=1}}^{n}{f(\xi _{i};)\Delta x_{i}}$$

Определенным интегралом по Риману от функции [tex]f[/tex] на отрезке [tex][a,b][/tex] называется [tex]\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim \limits _{{\delta R\to 0}} \sum \limits _{{i=1}}^{n}{f(\xi _{i};)\Delta x_{i}}[/tex]

Геометрический смысл интегральных сумм и определенного интеграла

Геометрический смысл интегральной суммы Римана ( если [tex]f(x) >0, \; \forall x \in [a,b][/tex] ):

это площадь ступенчатой фигуры, образованной прямоугольными полосками, ширины [tex]\Delta x_i[/tex] и высоты [tex]f((\xi _{i};)[/tex].
Площадь такой фигуры приближает площадь криволинейной трапеции под графиком функции.

Соответственно, определенный интеграл Римана, когда мы переходим к пределу по все более мелким разбиениям отрезка [tex][a,b][/tex] будет площадью криволинейной трапеции под графиком функции. Это геометрический смысл определенного интеграла.



Свойство линейности определенного интеграла:

$$\int \limits _{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$$

Как находить определенный интеграл?

Формула Ньютона- Лейбница


$$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a), $$
где [tex]F(x)[/tex] какая то (любая) первообразная для функции [tex]f(x)[/tex].

Часто используют сокращение [tex]F|_a^b=F(b)-F(a)[/tex], с этим сокращением формула Ньютона - Лейбница имеет вид:
$$\int_{a}^{b} f(x)dx=F|_a^b$$

Формула Ньютона - Лейбница примечательна тем, что связывает между собой объекты совершенно разного вида - определенный интеграл (предел интегральных сумм) и первообразные, неопределенный интеграл.

Пример:
(Вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона - Лейбница. )
$$\int_{0}^{\pi} \sin x dx= -\cos x |_0^{\pi} =-\cos \pi - (-\cos 0)=-(-1)-(-1)=2$$

Домашнее задание: найти определенные интегралы при помощи формулы Ньютона - Лейбница:
$$\int_{1}^{2}x^2dx, \;\;\; \int_{0}^{\frac {\pi}{2}}\sin(x) + x^2 dx, \\ \\ \\ \int_{a}^{a+2 \pi n}\sin x dx, \; n \in \mathbb{N}$$
 
ФОРУМ » » Группа 481 » Определенный интеграл
  • Страница 1 из 1
  • 1
Поиск:
Новый ответ
Имя:
Текст сообщения:
Все смайлы
Опции сообщения:
Код безопасности: