| admin | Дата: Пятница, 15.05.2020, 10:02 | Сообщение # 1 |
|
Генерал-майор
Группа: Администраторы
Сообщений: 496
Репутация: 1
Статус: Offline
| Тема тяжелая для восприятия, особенно если вы ранее никогда ни с чем подобным не сталкивались и при ограниченном количестве часов на нее, потому если возникают вопросы пишите их комментариями в эту же тему, постараюсь на все ответить.
По методам интегрирования можно посмотреть видео, размещенные по этой ссылке
эти же видео:
Методы интегрирования
Если приходится искать неопределенный интеграл от элементарных функций, не попавших в таблицу интегралов основных элементарных функций, то для нахождения таких интегралов применяют тот или иной метод интегрирования, основные из которых это замена переменной в неопределенном интеграле и метод интегрирования по частям.
Примечание: далеко не все элементарные функции имеют интегралы (первообразные), выражающиеся в элементарных функциях. Например, неопределенные интегралы [tex]\int e^{\pm x^2} dx, \;\;\; \int \frac{\sin x}{x}dx[/tex] не выражаются в элементарных функциях.
Замена переменной в неопределенном интеграле
основана на формуле
$$\int f(u(x))u{'}(x)dx=\int f(u(x))du(x)=F(u(x))+C,$$
где [tex]F(t)[/tex] первообразная для [tex]f(t)[/tex]
Пример:
$$\int x \cdot e^{x^2} dx = \int e^{x^2} \color {blue} {x dx} = \int e^{x^2} d\left (\frac{x^2}{2} \right ) =\color {red}{ \frac {1}{2} \int e^{x^2} d x^2}=$$
выделенное синим это дифференциал [tex]d\left ( \frac {x^2}{2} \right )=xdx[/tex].
В последнем, выделенном красным интеграле, очевидно нужно взять за новую переменную [tex]u=x^2[/tex] и после этого интеграл становится табличным (в таблице интегралов есть строка [tex]\int e^x dx = e^x+C[/tex]):
$$\frac1 2 \int e^u du =\frac1 2 e^u+C$$
осталось вернуться к старой переменной, подставив [tex]u=x^2[/tex]:
$$\frac1 2 \int e^u du = \frac1 2 e^u+C = \frac1 2 e^{x^2} +C$$
В итоге получили:
$$\int x \cdot e^{x^2} dx = \frac1 2 e^{x^2} +C$$
Интегрирование по частям
Интегрирование по частям основано на формуле
$$\large \color {blue} {\int udv=uv-\int vdu}$$
Для применения этой формулы важно выбрать удачное разбиение подинтегрального выражения в виде произведения [tex]u \cdot dv[/tex] . После этого надо найти по [tex]u, \; dv[/tex] входящие в правую часть равенства [tex]v, \; du[/tex]:
$$v=\int dv, \\ du=u'dx$$
Пример: найти методом интегрирования по частям [tex]\int \ln x dx[/tex].
$$\int \ln x dx = \begin{pmatrix}
u=\ln x\\
dv=dx\\
du=\left (\ln x \right )'dx=\frac{dx}{x}\\
v=\int dx = x
\end{pmatrix}= \\ x \ln x - \int x \cdot \frac{dx}{x}= x \ln x - \int dx = \color {blue} {x \ln x - x + C}
$$
Домашнее задание:
Найти методом замены переменной следующие неопределенные интегралы (синим выделена подсказка, что надо взять за новую переменную):
$$\int \sin \left ( e^x \right )e^xdx=\int \sin \left ( \color {blue} {e^x} \right )d\left ( \color {blue} {e^x} \right ) \\ \int \cos \left ( x^5 \right ) \cdot 5x^4dx= \int \cos \left ( \color {blue} {x^5} \right )d\left ( \color{blue} {x^5} \right ) \\ \int \cos \left ( arctg \left (x \right ) \right )\cdot \frac{dx}{1+x^2}=\int \cos \left ( \color {blue} { arctg (x)} \right )d \left ( \color {blue} {arctg (x)} \right )$$
Самостоятельно решить, что взять за новую переменную при интегрировании методом замены переменной:
$$\int \frac {arctg^3 (x) dx}{1+x^2}$$
Найти неопределенные интегралы методом интегрирования по частям:
(с подсказкой, как выбрать [tex]u, \; dv[/tex])
$$\int x \cdot \cos x dx =\begin{pmatrix}
u=x\\
dv= \cos x dx \\
du = dx\\
v=\int dv= \int \cos x dx = \sin x
\end{pmatrix}$$
(самостоятельно выбрать [tex]u, \; dv[/tex], чтобы найти интегралы методом интегрирования по частям)
$$\int x \sin x dx, \;\;\; \int xe^x dx$$
|
| |
| |
