[ Обновленные темы · Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]
  • Страница 1 из 1
  • 1
ФОРУМ » » Группа 481 » Нахождение экстремума с помощью первой производной
Нахождение экстремума с помощью первой производной
adminДата: Суббота, 09.05.2020, 05:06 | Сообщение # 1
Генерал-майор
Группа: Администраторы
Сообщений: 496
Репутация: 1
Статус: Offline
Экстремум (локальный максимум или локальный минимум)

Точка [tex]x_0[/tex] локальный максимум функции [tex]f(x)[/tex], если существует некоторая окрестность точки [tex](x_0 - \varepsilon ,x_0 - \varepsilon ) \ni x_0[/tex], такая что [tex]x \in (x_0 - \varepsilon ,x_0 - \varepsilon ), x \neq x_0 \Rightarrow f(x) < f(x_0)[/tex] (то есть в этой окрестности для любой отличной от [tex]x_0[/tex] точки значение функции меньше, чем в точке [tex]x_0[/tex]).

Аналогично определяется и локальный минимум.

Точка [tex]x_0[/tex] локальный минимум функции [tex]f(x)[/tex], если существует некоторая окрестность точки [tex](x_0 - \varepsilon ,x_0 - \varepsilon ) \ni x_0[/tex], такая что [tex]x \in (x_0 - \varepsilon ,x_0 - \varepsilon ), x \neq x_0 \Rightarrow f(x) > (x_0)[/tex] (то есть в этой окрестности для любой отличной от [tex]x_0[/tex] точки значение функции больше, чем в точке [tex]x_0[/tex]).

Точка локального минимума или локального максимума называется точкой экстремума.

Как находить точки экстремума с помощью производной?

Если функция [tex]f(x)[/tex] непрерывно - дифференцируема (то есть функция непрерывна, у нее есть производная, которая тоже непрерывна), то чтобы некоторая точка  [tex]x_0[/tex]  была точкой экстремума необходимо и достаточно, чтобы [tex]f'(x_0)=0[/tex] и в точке [tex]x_0[/tex] производная меняет знак (с одной стороны от этой точки производная одного знака, с другой стороны - другого знака).

Если производная в той точке, где она обращается в ноль знака не меняет, это не точка экстремума, а точка перегиба. Наглядный пример [tex]f(x)= x^3, \; f'(x)=3x^2[/tex]  у этой функции в нуле производная обращается в ноль, но [tex]x=0[/tex] очевидно не является точкой экстремума,  функция  [tex]f(x)= x^3[/tex]монотонно возрастает во всей своей области определения.


Поэтому при поиске экстремума недостаточно найти нули производной, необходимо смотреть меняет ли знак производная в тех точках, где обращается в ноль.

В локальном максимуме знак производной меняется с плюса на минус (слева производная больше нуля, справа меньше нуля), в локальном минимуме с минуса на плюс (слева производная меньше нуля, справа больше нуля).


Пример 1: выяснить, есть ли экстремум у функции [tex]f(x)=x^3+3x^2+3x+5[/tex].  Находим производную: $$f'(x)=3x^2+6x+3= 3 \left ( x^2+2x+1 \right )=3 \left ( x+1 \right )^2$$
У такой производной очевидно есть ноль, в точке [tex]x=-1[/tex], но производная в этой точке знака не меняет, обращается в ноль, но и справа и слева от этой точки положительна. Поэтому [tex]x=-1[/tex] не точка экстремума, а точка перегиба.

Пример 2:  выяснить, есть ли экстремум у функции [tex]f(x)=2x^3+3x^2-12x+5[/tex].  Находим производную: $$f'(x)=6x^2+6x-12= 6 \left ( x^2+x-2 \right )=6 \left ( x-1 \right )\left ( x+2 \right )$$ В этом случае есть две точки [tex]x=1, \; x=-2[/tex], где производная обращается в ноль и при этом в этих точках производная меняет знак, это точки экстремума.

Домашнее задание: найти точки экстремума для любых двух из следующих функций, это локальный максимум или локальный минимум, или показать,  что экстремумов  нет (потребуется таблица производных, и правила дифференцирования, и то и другое есть  по этой ссылке):

$$\color {blue} {\large {f_1(x)=\frac1 {1+x^2}, \; \; \; f_2(x)=\frac {x}{1+x^2}, \\ f_3(x)=\frac1 {1-x^2}, \; \; \;  f_4(x)=\frac {x} {1-x^2}}}$$

Можете исследовать все четыре функции из списка на экстремум, и тогда за это дополнительная оценка за пару.
 
ФОРУМ » » Группа 481 » Нахождение экстремума с помощью первой производной
  • Страница 1 из 1
  • 1
Поиск:
Новый ответ
Имя:
Текст сообщения:
Все смайлы
Опции сообщения:
Код безопасности: