[ Обновленные темы · Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]
  • Страница 1 из 1
  • 1
ФОРУМ » » Группа 481 » Неопределенный интеграл. Пара 1
Неопределенный интеграл. Пара 1
adminДата: Среда, 06.05.2020, 16:57 | Сообщение # 1
Генерал-майор
Группа: Администраторы
Сообщений: 499
Репутация: 1
Статус: Offline
Первообразная и неопределенный интеграл.

Читать стр 194-212:


Первообразная (первообразная для некоторой функции).

Если [tex]F'(x)=f(x)[/tex] то функция  [tex]F(x)[/tex] называется первообразной для функции [tex]f(x)[/tex].
Пример:  так как [tex]\left ( x^5 \right )'=5x^4[/tex], то функция [tex]x^5[/tex] это первообразная для функции [tex]5x^4[/tex]

Неопределенный интеграл

Неопределенным интегралом для функции [tex]f(x)[/tex] называется множество всех ее первообразных, и обозначается [tex]\int f(x)dx[/tex].

Справедливо следующее утверждение (можно сказать, что это утверждение, небольшая теорема, описывает строение множества всех первообразных, из чего это множество состоит):

$$\int f(x)dx = \left \{ F(x)+C | C \in \mathbb{R} \right \},$$ где [tex]F(x)[/tex] какая то одна первообразная. То есть достаточно найти какую то одну первообразную для функции, а все первообразные функции получаются из неё прибавлением к этой первообразной произвольной константы.

Строго говоря, следовало бы в связи со сказанным писать $$\int f(x)dx = \left \{ F(x)+C | C \in \mathbb{R} \right \},$$
но принято опускать фигурные скобки, описывающие множество функций  [tex]\left \{ F(x)+C | C \in \mathbb{R} \right \}[/tex] и пишут так:
$$\int f(x)dx =  F(x)+C, $$

Свойство линейности для неопределенного интеграла

$$\int \alpha f(x)+\beta g(x) dx = \alpha \int f(x) dx +\beta \int g(x)dx$$

Нахождение первообразных и неопределенных интегралов
Для нахождения неопределенных интегралов (и первообразных) используется таблица интегралов основных элементарных функций (ее можно посмотреть по этой ссылке) и довольно большое количество методов интегрирования, основные из которых это замена переменной в неопределенном интеграле и метод интегрирования по частям, эти методы интегрирования мы рассмотрим на следующем занятии.

Таблица интегралов от основных элементарных функций фактически получается из таблицы производных, например в таблице производных есть строчка [tex]{(cos(x))}'=-sin (x)[/tex] то есть [tex]cos(x)[/tex] первообразная для [tex]-sin (x)[/tex] или [tex]-cos(x)[/tex] первообразная для [tex]sin (x)[/tex], последнему утверждению соответствует строчка в таблице интегралов [tex]\int sin(x)dx= - cos (x) +C[/tex]

Замечание: если производная от любой элементарной функции снова элементарная функция, то для неопределенных интегралов аналогичное утверждение неверно, есть элементарные функции, неопределенный интеграл от которых не выражается через элементарные функции. Он может при этом существовать, просто не является элементарной функцией, если такие интегралы часто встречаются в каких то областях науки, например физики, или в друкгих областях математики для таких неопределенных интегралов, не выразимых в элементарных функциях вводят специальные названия и обозначения.

Домашнее задание:

Решить задачи № 48.1, 48.2 из задачника Мордковича, скан нужной страницы ниже:
 
ФОРУМ » » Группа 481 » Неопределенный интеграл. Пара 1
  • Страница 1 из 1
  • 1
Поиск:
Новый ответ
Имя:
Текст сообщения:
Все смайлы
Опции сообщения:
Код безопасности: