| admin | Дата: Понедельник, 04.05.2020, 07:29 | Сообщение # 1 |
|
Генерал-майор
Группа: Администраторы
Сообщений: 496
Репутация: 1
Статус: Offline
| Дифференциал.
Тема этой пары понятие дифференциала. Попробуем разобраться в следующих вопросах: что такое дифференциал функции, как находить дифференциал и его применение в приближенных вычислениях.
Что такое дифференциал?
Ранее, когда мы знакомились с понятием производной, нам попадалось понятие приращение функции (эта величина показывает, насколько меняется функция когда мы сдвигаемся в какую то другую точку).
$$\Delta f(x_0,\Delta x)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$$
Запись [tex]\Delta f(x_0,\Delta x)[/tex] подчеркивает то обстоятельство, что приращение функции зависит как от точки [tex]x_0[/tex], так и от приращения аргумента [tex]\Delta x[/tex].
Дифференциал- это линейная по [tex]\Delta x[/tex] часть приращения функции [tex]\Delta f(x_0,\Delta x)[/tex] .
Можно написать так: если [tex]\color {blue} {\Delta f(x_0,\Delta x)=\alpha \cdot \Delta x + \mu (\Delta x)}[/tex], где [tex]\alpha[/tex] зависит от [tex]x_0[/tex] и [tex]\mu (\Delta x)[/tex] бесконечно малая более высокого порядка, чем [tex]\Delta x[/tex] (то есть [tex]\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\mu (\Delta x)}{\Delta x} =0[/tex]) .
Дифференциалом в этих обозначениях является [tex]\alpha \cdot \Delta x[/tex], это именно линейная по [tex]\Delta x[/tex] часть приращения функции.
Дифференциал принято обозначать [tex]df[/tex].
Наглядно это можно посмотреть на каком нибудь очень простом примере где все предельно ясно и очевидно.
Рассмотрим такой пример (это мы находим для конкретной функции дифференциал по определению, напрямую ищем линейную по [tex]\Delta x[/tex] часть приращения функции) [tex]f(x)=x^2[/tex], найдем дифференциал этой функции в какой то nочке [tex]x_0[/tex]:
$$\Delta f (x_0,\Delta x) = f(x_0+\Delta x)-f(x_0) = (x_0+\Delta x)^2-x_0^2 = \\= x_0^2+ 2x_0\cdot \Delta x + \left (\Delta x \right )^2-x_0^2=\\ = \color {blue} {2x_0\cdot \Delta x }+\color {red} {\left (\Delta x \right )^2 }$$
тут синяя часть последнего выражения [tex]\color {blue} {2x_0\cdot \Delta x }[/tex] линейна по [tex]\Delta x[/tex] и это и есть дифференциал функции [tex]f(x)=x^2[/tex] в точке [tex]x_0[/tex], а [tex]\left (\Delta x \right )^2[/tex] это бесконечно малая более высокого порядка, чем [tex]\Delta x[/tex], так как [tex]\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\left (\Delta x \right )^2}{\Delta x}=0[/tex].
Как находить дифференциал?
Если равенство [tex]\color {blue} {\Delta f(x_0,\Delta x)=\alpha \cdot \Delta x + \mu (\Delta x)}[/tex] поделить на [tex]\Delta x[/tex] и перейти к пределу [tex]\Delta x \to 0[/tex] то получим:
$$\frac {\Delta f(x_0,\Delta x)}{\Delta x}=\alpha \cdot \frac {\Delta x}{\Delta x} + \frac{\mu (\Delta x)}{\Delta x}, \; \Delta x \to 0$$
или [tex]f'(x_0)=\alpha[/tex] (коэффициент пропорциональности в формуле для дифференциала равен производной функции в соответствующей точке).
Таким образом получили формулу для дифференциала [tex]\color {red} {df(x_0, \Delta x)=f'(x_0) \cdot \Delta x}[/tex] - именно по такой формуле и считают дифференциал, ее надо запомнить.
Важное замечание. Для независимой переменной [tex]x[/tex] ее дифференциал равен ее приращению, то есть [tex]\color {red} {dx =\Delta x}[/tex] (слева дифференциал, справа приращение), но это, разумеется, неверно для произвольной функции. Как это понимать? Словами можно описать так: для линейной функции все ее приращение целиком линейно, нет добавочки, которая вызывает отклонение от линейности. В частности, это верно для такой линейной функции как [tex]f(x)=x[/tex], но не только для нее, но и для произвольной линейной функции вида [tex]y=kx+b[/tex].
$$\Delta (kx+b)=(k \cdot (x+\Delta x)+b)-(k \cdot x+b)= \\ =k \cdot x + k \cdot \Delta x + b - k \cdot x - b = \color {blue} {k \cdot \Delta x = d(kx+b)}$$
(в этой формуле слева приращение линейной функции [tex]y=kx+b[/tex], а справа, выделенное синим, дифференциал этой линейной функции, все приращение целиком линейное, потому дифференциал в точности равен приращению).
Вследствие равенства [tex]\color {red} {dx =\Delta x}[/tex] многие формулы содержащие либо приращение либо дифференциал независимой переменной могут писать по разному, в такой формуле либо [tex]dx[/tex], либо [tex]\Delta x[/tex], значит это одно и то же в силу равенства, верного для независимой переменной [tex]dx =\Delta x[/tex]. Например [tex]\color {red} {df(x_0, \Delta x)=f'(x_0) \cdot \Delta x}[/tex] можно записать так [tex]\color {blue} {df(x_0, d x)=f'(x_0) \cdot d x}[/tex], значит это одно и же, это одна и та же формула, потому, что [tex]dx =\Delta x[/tex].
Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
$$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=\Delta f = f'(x_0)\cdot \Delta x + \color {blue}{ \mu (\Delta x)}, \; \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\mu (\Delta x)}{\Delta x}=0$$
Если в этом равенстве отбросить бесконечно малую более высокого порядка, равенство из точного превратится в приближенное:
$$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=\Delta f \approx f'(x_0)\cdot \Delta x$$
Или $$\color {blue} {f(x_0+\Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\cdot \Delta x}$$
Последняя, выделенная синим формула это и есть то, о чем идет речь, применение дифференциала в приближенных вычислениях. Мы заменяем приращение функции (которое проблемно "точно найти на бумаге") приблизительно ему равным (при небольших [tex]\Delta x[/tex]) дифференциалом, линейной частью приращения (геометрический смысл этого на иллюстрации выше, он в том, что мы в какой то точке провели касательную, которая вблизи этой точки очень хорошо приближает функциию, но по мере удаления от точки, где проведена касательня, расхождение между касательной и функцией растет).
Пример: приближенно вычислить [tex]\sin 31^{\circ}[/tex] с помощью дифференциала. Мы точно знаем [tex]\sin 30^{\circ}= 0.5[/tex], геометрический смысл того что делаем дальше- при [tex]x = 30^{\circ}= \frac {\pi}{6}[/tex] провели касательную, и на этой касательной (линейной функции) вычисляем приближенное значение синуса, сместившись на [tex]1^{\circ} = \frac {\pi}{180}[/tex].
$$\sin 31^{\circ} \approx \sin 30^{\circ} + \cos 30^{\circ} \cdot \color {blue} {\frac {\pi}{180}}=\color {red} {\frac1 2 + \frac {\sqrt{3}}{2}\cdot \frac {\pi}{180}}$$
Выделенное синим это один градус в радианах. с точность до 3- 4 десятичных знаков это приближенное выражение совпадет с [tex]\sin 31^{\circ}[/tex]
Домашнее задание:
(1) написать выражение для приближенного значения [tex]\sin 29^{\circ}[/tex], подобно тому как это сделано в примере выше для [tex]\sin 31^{\circ}[/tex] (подумайте в чем разница с рассмотренным чуть выше примером?)
(2) найти дифференциал функции (по формуле [tex]\color {blue} {df=f'(x) \cdot d x}[/tex]) для следующих функций (вам понадобится таблица производных, она есть тут http://dx.tom.ru/index/tablica_proizvodnykh/0-31 ):
- [tex]\color {blue} {d(\sin x)}[/tex]
- [tex]\color {blue} {d(\cos x)}[/tex]
- [tex]\color {blue} {d(x^2)}[/tex]
- [tex]\color {blue} {d(arctg \; x)}[/tex]
|
| |
| |
