[ Обновленные темы · Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]
  • Страница 1 из 1
  • 1
ФОРУМ » » Группа 481 » Производная. пара 2 (481(подгруппа 1) вт, 28.08; 481(подгруппа 2) ср, 29.04;)
Производная. пара 2
adminДата: Понедельник, 27.04.2020, 21:47 | Сообщение # 1
Генерал-майор
Группа: Администраторы
Сообщений: 496
Репутация: 1
Статус: Offline
Пара по подгруппам:
  • 481, подгруппа 1, вторник, 28.04.2020
  • 481, подгруппа 2, среда, 29.04.2020


Описание, что на паре делаем:



Нам понадобится понятие секущей (секущая прямая) графика какой то функции:



Геометрический смысл производной.

Производная определена как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента устремляется к нулю: $$\color {red} {f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}}$$

Под знаком предела стоит отношение приращения функции к приращению аргумента: $$\color {blue} { \frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}}$$
Какой геометрический смысл у этого выражения? Чтобы это понять? надо изобразить на картинке с графиком какой то функции входящие в это отношение приращение функции и приращение аргумента. Картинка выше есть, с комментариями. Это отношение [tex]\color {blue} { \frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}}[/tex] есть тангенс угла наклона секущей, проходящей через две точки графика функции [tex]f(x)[/tex] и [tex]f(x+\Delta x)[/tex].

Что происходит в пределе, когда  [tex]\color {blue} {\Delta x \to 0}[/tex] ?
В пределе секущая переходит в касательную, а угол наклона секущей переходит в угол наклона касательной. Это и есть геометрический смысл производной:  производная это тангенс угла наклона касательной к графику функции.
именно это надо отвечать на вопрос "какой геометрический смысл производной".


Физический смысл производной
Слишком углубляться в вопрос не будем, практически вся физика это дифференциальные уравнения (то есть уравнения, содержащие производные неизвестных функций), описывающие законы природы, физические законы.
Известные в школьном курсе физики вещи, это например, что производная от пути по времени это скорость: [tex]\frac {dS}{dt}=v[/tex], а производная по времени от скорости (это уже вторая производная от пути) это ускорение: [tex]\frac {dv}{dt}=\color {blue} {\frac{d^2 v}{dt^2}}=a[/tex] (синим выделено обозначение второй производной, то есть производной от производной)
Физика описывает наш мир, 3 пространственных измерения и одно измерение времени. 

Из- за многомерности нашего физического мира, много физических величин являются векторами (например: положение точки в пространстве трех измерений - это радиус вектор, скорость как производная радиус вектора это тоже 3- х мерный вектор, ускорение 3-х мерный вектор), производные по времени от векторных физических величин, тоже векторы. Одномерные задачи получаются только если движение точки вдоль одной прямой. В этом случае производные именно те, которые мы знаем (производные от функций одной переменной). Производные векторных функций многих переменных, частные производные, именно такие производные содержатся в дифференциальных уравнениях, описывающих физические законы, рассматривает математический анализ.

Пример (типичная задача "на школьную физику и математику"): Точка движется по прямой [tex]0x[/tex] по закону [tex]x(t)=3t^2-2t+6[/tex]. Найти скорость и ускорение точки в зависимости от времени.
Скорость (первая производная от координаты): $$v=\frac {d}{dt} \left ( 3t^2-2t+6 \right ) = 3 \cdot 2t-2 \cdot 1 +0= 6t-2 $$
Ускорение (производная от скорости, она же вторая производная координаты): $$a=\frac {dv}{dt}=\frac {d}{dt} \left ( 6t-2 \right ) = 6+0=6$$


Уравнение касательной к графику функции в заданной точке.
Касательная к графику функции в какой то точке это прямая (надо, конечно, так и говорить касательная прямая, но для краткости говорят просто касательная, это общепринято), а всякая прямая может быть описана уравнением вида [tex]\color {blue} {y=kx+b}[/tex] этой прямой в системе координат (в декартовой прямоугольной системе координат на плоскости). Выше мы обсудили, что геометрический смысл производной это тангенс угла наклона касательной (то есть ее угловой коэффициент [tex]\color {blue}{ k=f'(x_0)}[/tex]). Задача состоит в том, чтобы имея функцию и точку написать уравнение прямой, которая проходит через заданную точку и имеет нужный угловой коэффициент.
Если все это проделать, то получим следующее уравнение касательной к графику функции [tex]f(x)[/tex] в точке [tex]x_0[/tex]:$$\color {blue} {y=f'(x_0) \cdot \left (  x - x_0 \right ) + f(x_0)}$$
Пример (задачи на составление уравнения касательной): составить уравнение касательной к графику функции [tex]f(x)=x^3+1[/tex] в точке [tex]x_0=2[/tex]. Нам надо вычислить все константы [tex]f(x_0), \; f'(x_0)[/tex], входящие в уравнение касательной и подставить их в уравнение касательной, чтобы найти [tex]f'(x_0)[/tex] сначала придется найти производную [tex]f'(x)=\left (  x^3 +1 \right )'=3x^2+0=3x^2[/tex]. Вычисляем константы в уравнении касательной: [tex]f(x_0)=f(2)=2^3+1=\color {blue} {9}, \; \; \; f'(x_0)=f'(2)=3 \cdot 2^2 = \color {blue} {12}[/tex] (синим выделено то, что нужно подставлять в уравнение касательной, [tex]x_0=\color {blue}{2}[/tex]).
В итоге получаем уравнение касательной: [tex]y=12 (x-2)+9[/tex]  что можно преобразовать (раскрывая скобки и приводя подобные) к знакомому виду уравнения прямой [tex]\color {blue} {y=kx+b}[/tex] $$y=12x-15$$


Домашнее задание

  • найти угловой коэффициент касательной к графику функции[tex]f(x)=x^2-3[/tex] функции в точке [tex]x_0=2[/tex]
  • найти уравнение касательной к графику функции [tex]f(x)=x^2-3[/tex] функции в точке [tex]x_0=2[/tex]
  • точка движется вдоль оси [tex]0x[/tex] по закону [tex]x(t)=3 \sin t +5t[/tex]. Найдите скорость и ускорение точки в зависимости от времени. В каких единицах скорость и ускорение если длина измеряется в метрах, а время в секундах? В каких единицах скорость и ускорение если длина в световых годах, а время в секундах? Допускает ли физика такое движение для материального объекта, информации (сигналов) и пятна лазерной указки? Если в каких то случаях нет, то почему?
 
настяДата: Среда, 29.04.2020, 08:43 | Сообщение # 2
Группа: Гости





я не понимаю как домашку делать?
найти угловой коэффициент касательной к графику функцииf(x)=x2−3f(x)=x2−3 функции в точке x0=2x0=2
найти уравнение касательной к графику функции f(x)=x2−3f(x)=x2−3 функции в точке x0=2x0=2
точка движется вдоль оси 0x0x по закону x(t)=3sint+5tx(t)=3sin⁡t+5t. Найдите скорость и ускорение точки в зависимости от времени. В каких единицах скорость и ускорение если длина измеряется в метрах, а время в секундах? В каких единицах скорость и ускорение если длина в световых годах, а время в секундах? Допускает ли физика такое движение для материального объекта, информации (сигналов) и пятна лазерной указки? Если в каких то случаях нет, то почему?
вот это
 
adminДата: Среда, 29.04.2020, 10:24 | Сообщение # 3
Генерал-майор
Группа: Администраторы
Сообщений: 496
Репутация: 1
Статус: Offline

Цитата
найти угловой коэффициент касательной к графику функцииf(x)=x2−3f(x)=x2−3 функции в точке x0=2x0=2
 Угловой коэффициент касательной (в какой то точке) = производная в вычисленная в этой точке = тангенс угла наклона касательной (это то что выше называется "геометрический смысл производной", то есть производная определена как такой то предел, но что это значит на картинке? это такой угловой коэффициент у касательной)

По сути это все одно и то же.  То есть вам надо производную сосчитать в точке х= 2 и все (это и будет угловой коэффициент касательной, а я проверил что вы поняли, что все это одно и то же).
Вам надо:
  • найти производную от функции[tex]f(x)=x^2-3[/tex]
  • потом эту производную сосчитать при х=2


Это вы нашли угловой коэффициент касательной.
Делайте это, отпишитесь что получилось, и дальше пойдем разбирать. Все вопросы сразу отвечать не имеет смысла, надо пошагово двигаться.

Если есть вопросы как находить производные тоже информируйте, значит надо на этом месте задержаться (я опасаюсь вдруг на интегралы времени не хватит).
 
Нехорошева ДарьяДата: Среда, 29.04.2020, 11:25 | Сообщение # 4
Группа: Гости





Производная
•f(x)=x²-3
f'(x)=2x-0=2x
f(x0)=f(2)=2²-3=4-3=1
f'(x0)=f'(2)=2×2=4
y=f'(x0)×(y×x0)+f(x0)
•y=4(x-2)+1=4x-8+1=4x-7
y=4x-7
скорость:
•x(t)=3sint+5t м/с
Ω=d/dt(3sint+5t)+3cost+5×1=3cost+5
ускорение:
a=dΩ\dt=d/dt(3cost+5)=-3sint+0=-3sint
 
adminДата: Среда, 29.04.2020, 12:12 | Сообщение # 5
Генерал-майор
Группа: Администраторы
Сообщений: 496
Репутация: 1
Статус: Offline
Нехорошева Дарья,  Даша вы можете писать на бумаге и присылать фото решений  в приват в этот ник с которого я пишу? все же должны сами думать, а не списывать у вас.
 
ФОРУМ » » Группа 481 » Производная. пара 2 (481(подгруппа 1) вт, 28.08; 481(подгруппа 2) ср, 29.04;)
  • Страница 1 из 1
  • 1
Поиск:
Новый ответ
Имя:
Текст сообщения:
Все смайлы
Опции сообщения:
Код безопасности: