[ Обновленные темы · Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]
  • Страница 1 из 1
  • 1
ФОРУМ » » Группа 481 » Производная. пара 1 (всего их 4 на подгруппу на неделе) (481(1)- пн, 27.04, 481(2) вт. 28.04)
Производная. пара 1 (всего их 4 на подгруппу на неделе)
adminДата: Понедельник, 27.04.2020, 00:30 | Сообщение # 1
Генерал-майор
Группа: Администраторы
Сообщений: 499
Репутация: 1
Статус: Offline

481(подгруппа 1)- пн, 27.04;  481(подгруппа 2) вт, 28.04.



Приращение функции и приращение аргумента.
Если вы меняете аргумент функции [tex]f(x)[/tex] увеличивая его на какую то величину, обычно обозначают [tex]\Delta x[/tex] (могут обозначать и как то иначе, например [tex]h[/tex]) то эта величина и называется приращение аргумента (функции).

При этом сама функция конечно тоже меняется (за редкими исключениями, смотря какая конкретно функция), ведь вы ее уже в какой то другой точке считаете, величину этого изменения функции при переходе от аргумента [tex]x[/tex] к аргументу [tex]x + \Delta x[/tex] называют приращением функции.

Обозначают так: [tex]\color {blue} { \Delta f = f (x + \Delta x)-f(x)}[/tex]. Это приращение зависит как от самой функции, так и [tex]x[/tex] и [tex]\Delta x[/tex]. Если хотят отметить это обстоятельство, от чего зависит   [tex]\Delta f[/tex] то пишут [tex]\Delta f (\color {blue} {x,\Delta x} )= f (x + \Delta x)-f(x)[/tex] (синим выделены аргументы приращения функции, от чего это приращение зависит).

Например: надо найти приращение функции [tex]f(x)=x^2[/tex] в точке [tex]x_0=3[/tex] и при [tex]\Delta x = 0,2[/tex].Все это подставляем в синенькую формулу выше и получаем:$$\Delta f = f (x + \Delta x)-f(x)=(3+0,2)^2-3^2= 10,24-9=1,24$$(несколько такого рода задач есть в задачнике Мордковича)

Определение производной и терминология.

Словами звучит так "производная это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю".

Производную от функции [tex]f(x)[/tex] обозначают по разному, штрихом [tex]f'(x)[/tex] или например так  [tex]\frac{df}{dx}[/tex] (это обозначение подчеркивает, что производная это также отношение дифференциалов [tex]df[/tex] и [tex]dx[/tex], что такое дифференциал, мы пока не знаем, но должны узнать на неделе).

Если записанное словами выше определение производной записать с использованием известных нам обозначений, то выглядит это так:$$\color {red} {f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}} $$

Терминология: если функция [tex]f(x)[/tex] имеет производную в какой то точке [tex]x_0[/tex], то говорят [tex]f(x)[/tex] дифференцируема в точке [tex]x_0[/tex] (дифференцируемость в точке).

Если же эта функция дифференцируема в любой точке какого то множества [tex]A \subset \mathbb{R}[/tex](например интервала) то говорят [tex]f(x)[/tex] дифференцируема на множестве [tex]A[/tex].

Пример: вычисление производной по определению для какой то простой функции (для сложной функции делать надо то же самое, но может сильно усложниться вычисление предела (в формуле, выделенной красным выше), через который определена производная).Производная по определению для [tex]f(x)=x^2[/tex]:$$f'(x)=\left ( x^2 \right )'= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\left ( x+\Delta x \right )^2-x^2}{\Delta x} = \\ \\ \\  =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^2+2x \cdot \Delta x+\left (\Delta x  \right )^2-x^2}{\Delta x} = \\ \\ \\ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x \cdot \Delta x+\left (\Delta x  \right )^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left ( 2x+ \Delta x \right )=2x$$

Как вычислять производные?

Конечно же на практике производные крайне редко считают по определению, составляя отношение приращения функции к приращению аргумента и находя предел, практически используется:
  • таблица производных основных элементарных функций и
  • правила дифференцирования


И то и другое вы можете найти по этой ссылке на сайте

Для основных элементарных функций все пределы, через которые определяются производные найдены несколько столетий назад, когда "во времена Ньютона" создавалось дифференциальное исчисление (раздел математики о производных и функциях, а также дифференциальных уравнениях).

Все эти производные основных элементарных функций и сведены в эту таблицу производных основных элементарных функций.

То, что называют правила дифференцирования, это небольшие (но важные) теоремы дифференциального исчисления, о производных суммы и разности функций, произведения и частного функций, произведения композиции функций (почему то в наше время это очень тяжело воспринимаемая тема, найти производную сложной функции, на нее надо пристальное внимание обратить).

Пример: ту же производную от [tex]f(x)=x^2[/tex] найти при помощи таблицы производных и правил дифференцирования (правила дифференцирования  тут не понадобятся, сама наша функция есть в таблице, вы ее только должны найти).

Подходит следующая строчка таблицы производных [tex]\large {(x^\alpha)}' = \alpha x^{\alpha -1}[/tex] в нашем случае [tex]x^2  \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \alpha = 2[/tex] и сразу получаем:  [tex]\left (  x^2   \right )' = 2 x^{2-1} = 2x[/tex] то же самое, ччто мы получили, считая эту производную по определению.

Пример чуть сложнее: при помощи таблицы производных и правил дифференцирования найти производную от функции [tex]f(x) = 2 x^2 +3 \sin x[/tex]

подходит первая формула правил дифференцирования (линейность производной):
$$f'(x) = \left (2 x^2 +3 \sin x  \right )'= 2 \color {blue} {\left (x^2  \right )'} + 3 \color {blue} {\left (\sin x  \right )'} $$
Выделенное синим это уже табличные производные (одну из которых мы нашли ранее) и далее окончательно получаем:
$$f'(x) = \left (2 x^2 +3 \sin x  \right )'= 2 \color {blue} {\left (x^2  \right )'} + 3 \color {blue} {\left (\sin x  \right )'} =2 \cdot \color {red} {2 x} + 3 \color {red} { \cos x } = 4 x+3 \cos  x$$ (красным выделено то, на что мы поменяли синее по таблице производных)

Еще чуточку сложнее (на правило дифференцирования произведения функций [tex]\color {blue} {(u \cdot v)'=   {u}' \cdot v + u \cdot {v}'}[/tex]): найти производную от функции  [tex]f(x)= x e^x[/tex]:
$$\left (xe^x  \right )'=x'e^x+x\left (e^x  \right )'=1 \cdot e^x+xe^x=e^x+xe^x$$


Домашнее задание: используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные от следующих функций:
  • [tex]f(x)=2x^3+\ln x[/tex]
  • [tex]g(x)=3 \cos x +5 tg x[/tex]
  • [tex]h(x)=x \cdot \cos x[/tex] (использовать формулу для производной произведения, под вторым номером на сайте в правилах дифференцирования)



Вопросы задавать в эту тему на форуме.
Распечатать (тест распечатки)
 
Дарья НехорошеваДата: Вторник, 28.04.2020, 09:54 | Сообщение # 2
Группа: Гости





f(x)=2x³+lnx
f(x)'=6x²+1/x
9(x)=3cosx+5tgx
9(x)'=3sinx+5/cos²x
h(x)=x×cosx
h(x)'=(x)'cosx-x×(cosx)'/cos²=cosx+x×sinx/cos2
 
adminДата: Вторник, 28.04.2020, 12:06 | Сообщение # 3
Генерал-майор
Группа: Администраторы
Сообщений: 499
Репутация: 1
Статус: Offline
Ну вот на одного человека больше стало тянуться к знаниям)

А остальные что будут решать? Если можно списать? Ошибки тем не менее есть в том что вы пишете.

В общем мы так работаем, или в электронном журнале отвечают на домашние задания (присылают фото и сканы) или тут регистрируетесь и пишете в приват (на этот ник) и там сканы или фото решений.

Лучше через сайт, лучше тем что тут меньше ограничений на объем сообщений и можно отвечать формулами.

ошибка чуть чуть. не пишите решения задачь публично, а то не понятно сами решали или у вас списали.  ЗАДАЧИ В ПРИВАТ.
 
ГостьДата: Среда, 27.05.2020, 14:06 | Сообщение # 4
Группа: Гости





f(x)=2x³+lnx
f(x)'=6x²+1/x
9(x)=3cosx+5tgx
9(x)'=3sinx+5/cos²x
h(x)=x×cosx
h(x)'=(x)'cosx-x×(cosx)'/cos²=cosx+x×sinx/cos2

Добавлено (27.05.2020, 14:06)
---------------------------------------------
Якубова

 
adminДата: Пятница, 05.06.2020, 20:45 | Сообщение # 5
Генерал-майор
Группа: Администраторы
Сообщений: 499
Репутация: 1
Статус: Offline
Гость, правильно, кроме последнего. Вы пытаетесь применить искаженную формулу для производной частного двух функций $$\large {\left ( \frac{u}{v} \right )}'=\frac {{u}' \cdot v - u \cdot {v}'}{v^2}$$
к производной от произведения функций, где надо применять вот это $$\large {(u \cdot v)}'=   {u}' \cdot v + u \cdot {v}'$$

Так же потеряли минус 9(x)=3cosx+5tgx
9(x)'=-3sinx+5/cos²x

Если у вас нет оценки на число за которое это ДЗ (28.04) я туда поставлю 5- (хотя надо было заставить перерешать правильно, аналогично ошибались и другие студенты, но потом исправляли), это 5 с минусом в кредит. Если будет математика проф. у вас на 3-м курсе) Я точно не знаю, будет ли.  Должна быть.
 
ФОРУМ » » Группа 481 » Производная. пара 1 (всего их 4 на подгруппу на неделе) (481(1)- пн, 27.04, 481(2) вт. 28.04)
  • Страница 1 из 1
  • 1
Поиск:
Новый ответ
Имя:
Текст сообщения:
Все смайлы
Опции сообщения:
Код безопасности: