[ Обновленные темы · Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]
  • Страница 1 из 1
  • 1
ФОРУМ » » Группа 481 » Последовательности (и заканчиваем с ними). (Практика по подгруппам: 481(2)-13.04.20, 481(1)-16.04.20)
Последовательности (и заканчиваем с ними).
adminДата: Понедельник, 13.04.2020, 00:13 | Сообщение # 1
Генерал-майор
Группа: Администраторы
Сообщений: 496
Репутация: 1
Статус: Offline
481 подгруппа 2- понедельник, 13.04.20
481 подгруппа 1- четверг, 16.04.20

Рассмотрим еще несколько фактов о (числовых) последовательностях, порешаем немного задач и на этом заканчиваем последовательности (дефицит времени).

Терминология: если последовательность имеет предел, то говорят для краткости "последовательность сходится". Если предел известен [tex]\lim_{n \to \infty } x_n = a[/tex] тогда говорят "последовательность [tex]\color {blue} {x_n}[/tex] сходится к [tex]\color {blue} {a}[/tex]".
Соответственно, если "последовательность расходится", значит у нее нет предела.

Монотонная и ограниченная последовательность сходится.

Теорема (теорема Веерштрасса): монотонная и ограниченная последовательность сходится. Это важная теорема, так как она позволяет давать ответ на вопрос о сходимости последовательности, даже если ее предел сложно найти, но вы можете показать ограниченность и монотонность последовательности.

Например, именно таким образом доказывается существование второго замечательного предела [tex]\lim_{n \to \infty } \left ( 1+\frac1 n \right )^n = e[/tex], рассматривается последовательность [tex]x_n=\left ( 1+\frac1 n \right )^n[/tex]  и для нее показывается монотонность и ограниченность. Значит по теореме Веерштрасса предел существует. И этот предел обозначают буквой [tex]e\approx 2,7182818284590452353602874713527...[/tex]

Применение последовательностей рациональных чисел при построении теории вещественных чисел.
Известные нам вещественные числа строятся
множеством эквивалентных способов. Например самое понятное для всех, это построить вещественные числа как бесконечные десятичные дроби. Еще один способ построения вещественных чисел- как множество монотонных и ограниченных последовательностей рациональных чисел.

Подпоследовательность: есть последовательность [tex]x_n[/tex], можно выбрать не все индексы, а [tex]n_1, \; n_2, \; n_3, \; ... \; , n_k, \; ...[/tex], причем [tex]n_1 < n_2 < n_3 < \; ... \; < n_k < \; ...[/tex] тогда получим из последовательности [tex]x_n[/tex] какую то ее подпоследовательность  [tex]x_{n_1}, \; x_{n_2}, \; x_{n_3}, \; x_{n_4}, \; ... \; , x_{n_k}, \; ....[/tex]. Обозначается подпоследовательность так: [tex]x_{n_k}[/tex]
Пример: все четные члены какой то то произвольной последовательности это подпоследовательность этой произвольной последовательности (сказать можно так "подпоследовательность четных членов последовательности"), так же все нечетные члены какой то последовательности, это тоже подпоследовательность.

Всякая ограниченная последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.

Предельные точки последовательности (не путать с пределом!!!) : на последовательность можно смотреть как на подмножество [tex]\left \{ x_n|n \in \mathbb{N} \right \}[/tex] в [tex]\mathbb{R}[/tex]. 
Предельная точка последовательности, это  точка множества  [tex]\left \{ x_n|n \in \mathbb{N} \right \}\subset \mathbb{R}[/tex], такая что в любой ее произвольно малой окрестности содержится бесконечно много членов последовательности [tex]x_n[/tex]

Например, для последовательности [tex]x_n=\frac1 n[/tex] предельная точка [tex]0[/tex], потому что в произвольной окрестности [tex]0[/tex] [tex]\left ( -\varepsilon ,\varepsilon  \right )[/tex] бесконечно много точек из множества [tex]\left \{    \left. \frac1 n \right | n \in \mathbb{N} \right \}[/tex]. Поскольку кроме этого еще и в произвольную окрестность [tex]0[/tex] попадают все точки этой последовательности начиная с некоторого номера, то  [tex]0[/tex] также еще и предел этой последовательности.

Предел последовательности всегда является предельной точкой, но предельная точка может быть и у последовательности не имеющей предела. 


Сходящаяся подпоследовательность сходиться к одной из предельных точек последовательности.

Техника вычисления пределов.
см. материал этой  пары, сравнение по скорости роста бесконечно больших.
  • если искомый предел есть неопределенность [tex]\frac{0}{0}[/tex], то есть надо найти предел вида  [tex]\lim_{n \to \infty }\frac{a_n}{b_n}[/tex], причем [tex]\lim_{n \to \infty }a_n = \lim_{n \to \infty }b_n =0[/tex] то предел не изменится, если к [tex]a_n[/tex] добавить или вычесть бесконечно малую более высокого порядка, чем [tex]a_n[/tex], а к [tex]b_n[/tex] добавить или вычесть бесконечно малую более высокого порядка, чем [tex]b_n[/tex]
  • если искомый предел есть неопределенность [tex]\frac{\infty}{\infty}[/tex], то есть надо найти предел вида  [tex]\lim_{n \to \infty }\frac{a_n}{b_n}[/tex], причем [tex]\lim_{n \to \infty }a_n = \pm \infty,  \lim_{n \to \infty }b_n = \pm \infty[/tex] то предел не изменится, если к [tex]a_n[/tex] добавить или вычесть бесконечно большую  меньшей скорости роста, чем [tex]a_n[/tex], а к [tex]b_n[/tex] добавить или вычесть бесконечно большую меньшей скорости роста, чем [tex]b_n[/tex]


например $$\lim_{n \to \infty }\frac {12n^2+100n+\ln n}{4n^2-200n-3}=\\ \left ( отбросили \; бесконечно \;  большие \; с \; меньшей \; скоростью \; роста \right )=\\ \lim_{n \to \infty }\frac {12n^2}{4n^2}=\lim_{n \to \infty }\frac {12}{4}=\frac{12}{4}=3$$

Домашнее задание:
предельная точка это не предел последовательности!!! А такая точка, в произвольную окрестность которой попадает бесконечно много членов последовательности.
Задача 1
: Последовательность [tex]x_n=(-1)^n[/tex] имеет две предельных точки [tex]\pm 1[/tex]. Это понятно, ведь в окрестность каждой из этих точек попадает бесконечно много члеов последовательности  [tex]x_n=(-1)^n[/tex]. Задание: придумайте последовательность у которой 3 предельных точки по аналогии с этой последовательностью, у которой две предельные точки.
Подсказка:  [tex]x_n=(-1)^n[/tex] удобно (для ответа на вопрос) записать так $$x_n=(-1)^n=\left\{\begin{matrix}
-1, \; n \; нечетно \; или \; n=2k-1\\
1,  \; n \; четно \; или \; n=2k
\end{matrix}\right.
$$
Что в такой записи можно модифицировать, чтобы получилась последовательность, имеющая 3 предельных точки?
Задача 2: Есть ли предельная точка у последовательности [tex]y_n=n^{((-1)^n)}[/tex]. Если есть, то какая это точка?
Задача 3: найти пределы последовательностей. Указание: смотрите материал позапрошлой пары тут в разделе "сравнение бесконечно больших и бесконечно малых".
  • [tex]\lim_{n \to \infty }\left (1 + \frac{\ln n}{n}  \right )[/tex]
  • [tex]\lim_{n \to \infty }\left (3 + \frac{n}{3^n}  \right )[/tex]
  • на второй замечательный предел [tex]\lim_{n \to \infty }\left (1 + \frac{1}{n}  \right )^{5n}[/tex]. Указание: используйте ранее (в прошлых дз и на прошлых парах) полученный результат, а также свойства пределов последовательностей  [tex]\lim_{n \to \infty }\left (1 + \frac{1}{n}  \right )^{2n}=e^2[/tex] и  [tex]\lim_{n \to \infty }\left (1 + \frac{1}{n}  \right )^{3n}=e^3[/tex]
  • (см. выше техника вычисления пределов, тут просто надо выяснить какие бесконечно большие растут быстрее всего, все остальное можно отбросить и найти предел)  $$\lim_{n \to \infty }\frac {4\cdot 3^n+ 12n^2+100n+\ln n}{3^n+4n^2-200n-3}=?$$


Задача 4: последовательность [tex]x_n=(-1)^n[/tex], не имеет предела, но имеет две предельных точки. Что можно сказать о подпоследовательности нечетных членов этой последовательности? Есть ли у нее предел и если есть то какой он?

Напоминаю, что у большей части группы долг предыдущие дз по последовательностям. Присылайте решения, чтобы я не мотивировал к учебе двойками.
Если по материалу или задачам выше есть вопросы пишите их в тему.

Анонс: на следующей неделе переходим к пределам функций и непрерывности функции. И все что вокруг этого вопроса. Нам надо добраться до производных, через пределы.
 
ФОРУМ » » Группа 481 » Последовательности (и заканчиваем с ними). (Практика по подгруппам: 481(2)-13.04.20, 481(1)-16.04.20)
  • Страница 1 из 1
  • 1
Поиск:
Новый ответ
Имя:
Текст сообщения:
Все смайлы
Опции сообщения:
Код безопасности: