| admin | Дата: Четверг, 09.04.2020, 06:36 | Сообщение # 1 |
|
Генерал-майор
Группа: Администраторы
Сообщений: 496
Репутация: 1
Статус: Offline
| Теоремы о пределах последовательностей:
Пусть [tex]\alpha ,\beta \in \mathbb{R}[/tex] какие то вещественные константы, [tex]\lim_{n \to \infty } a_n= a, \; \lim_{n \to \infty } b_n= b[/tex] две сходящихся последовательности (то есть у этих последовательностей есть пределы и они конечные).
Тогда:
- [tex]\lim_{n \to \infty } \left (a_n + b_n \right )= a+b[/tex]
- [tex]\lim_{n \to \infty } \left (a_n - b_n \right )= a-b[/tex]
- [tex]\lim_{n \to \infty } \left (a_n \cdot b_n \right )= a \cdot b[/tex]
- [tex]\lim_{n \to \infty } \left (\alpha \cdot a_n \right )= \alpha \cdot a[/tex]
Эти 4 формулы можно заменить на одну, им эквивалентную (из нее следуют эти 4 формулы, из них эта формула)
[tex]\lim_{n \to \infty } \left (\alpha \cdot a_n + \beta \cdot b_n \right )= \alpha \cdot a+\beta \cdot b[/tex]
Если кроме того [tex]\forall n \in \mathbb{N} \; b_n\neq 0[/tex] (все члены второй последовательности ненулевые) и [tex]\lim_{n \to \infty } b_n= b \neq 0[/tex] (и предел этой последовательности ненулевой), тогда [tex]\lim_{n \to \infty }\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}[/tex]
"лемма о двух милиционерах":
Если [tex]\lim_{n \to \infty }{a_n}=\lim_{n \to \infty }{c_n}=p[/tex] и [tex]a_n \leqslant b_n \leqslant c_n[/tex] тогда [tex]\lim_{n \to \infty } b_n = p[/tex] (если две последовательности имеют одинаковый предел, а члены третьей последовательности расположены между членами этих последовательностей, то эта третья последовательность иемеет тот же предел)
второй замечательный предел (для последовательностей):
[tex]\lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac1{n} \right )^n=e[/tex]
Примечание: эта теорема (второй замечательный предел) на самом деле утверждает, что есть предел последовательности [tex]\left ( 1+\frac1{n} \right )^n[/tex] и является определением числа E (это "число E" определяется именно как предел этой последовательности.
Бесконечно малые последовательности:
Последовательность называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.
(если [tex]\lim_{n \to \infty } a_n=0[/tex] то последовательность [tex]a_n[/tex] называется бесконечно малой).
Фраза "бесконечно малая более высокого порядка" означает следующее: если [tex]\lim_{n \to \infty } a_n=0, \lim_{n \to \infty } b_n=0[/tex] и кроме того [tex]\lim_{n \to \infty } \frac{a_n}{b_n}=0[/tex] тогда говорят последовательность [tex]a_n[/tex] бесконечно малая более высокого порядка, чем последовательность [tex]b_n[/tex].
Бесконечный предел последовательности и бесконечно большие последовательности.
Мы рассматривали ранее определение предела, в случае когда он конечен. Для этого нам понадобилось понятие [tex]\varepsilon[/tex] - окрестности точки (окрестность точки на вещественной числовой прямой). Бесконечность не является вещественным числом и для нее придется отдельно определять понятие "бесконечного предела". Поступают в этом случае аналогично, вводят понятие окрестность бесконечности.
Окрестностью [tex]+ \infty[/tex] называют вот такие интервалы [tex]U_a( + \infty ) = \left ( a, \; \infty \right )[/tex].
Окрестностью [tex]- \infty[/tex] называют вот такие интервалы [tex]U_a( - \infty ) = \left ( - \infty , \; a \right )[/tex].
Можно также определить окрестность [tex]\infty[/tex] (без знака) следующим образом: [tex]U_a(\infty ) = \left ( -\infty ,- a \right )\cup \left ( a, +\infty \right )[/tex]
Теперь можно определить понятие бесконечного предела следующим образом:
- [tex]\lim_{n \to \infty } a_n=+\infty[/tex] если [tex]\forall U_a(+\infty ) \exists n_0 \in \mathbb{N} | n \geqslant n_0 \Rightarrow a_n \in U_a(+\infty )[/tex] (для любой окрестности [tex]+ \infty[/tex] найдется номер [tex]n_0[/tex] начиная с которого все члены последовательности попадают в эту окресность).
- Аналогично, [tex]\lim_{n \to \infty } a_n=- \infty[/tex] , если [tex]\forall U_a(-\infty ) \exists n_0 \in \mathbb{N} | n \geqslant n_0 \Rightarrow a_n \in U_a(-\infty )[/tex]
- Тоже аналогично (стремится к бесконечсности неважно какого знака): [tex]\lim_{n \to \infty } a_n= \infty[/tex] , если [tex]\forall U_a( \infty ) \exists n_0 \in \mathbb{N} | n \geqslant n_0 \Rightarrow a_n \in U_a( \infty )[/tex]
Последовательность называется бесконечно большой, если ее предел бесконечен (просто бесконечность или со знаком, в том смысле который выше)
Связь бесконечно больших и бесконечно малых (последовательностей).
если последовательность [tex]a_n[/tex] бесконечно большая, то последовательность [tex]\frac1 {a_n}[/tex] бесконечно малая. Верно и обратное утверждение: если последовательность [tex]b_n[/tex] бесконечно малая, то последовательность [tex]\frac1 {b_n}[/tex] бесконечно большая.
Фраза "бесконечно большая более высокого порядка" означает следующее: если [tex]\lim_{n \to \infty } a_n= \infty, \lim_{n \to \infty } b_n=\infty[/tex] и кроме того [tex]\lim_{n \to \infty } \frac{a_n}{b_n}=\infty[/tex] тогда говорят последовательность [tex]a_n[/tex] бесконечно большая более высокого порядка, чем последовательность [tex]b_n[/tex]. Примечание: такие определения как это допускают многочисленные, но совершенно эквивалентные между собой формулировки. Например можно сказать вот так: [tex]\lim_{n \to \infty } a_n= \infty, \lim_{n \to \infty } b_n=\infty[/tex] и кроме того [tex]\lim_{n \to \infty } \frac{b_n}{a_n}=0[/tex] тогда говорят последовательность [tex]a_n[/tex] бесконечно большая более высокого порядка, чем последовательность [tex]b_n[/tex] и это будет эквивалентной формулировкой (так получается ввиду описанной выше связи бесконечно больших и бесконечно малых).
Сравнение бесконечно больших (и бесконечно малых) последовательностей по скорости роста (или скорости приближения к нулю) для ряда известных функций.
Примечание: тут значек [tex]<[/tex] означает "меньшая скорость роста бесконечно большой последовательности".
$$\ln n < n^p < n^q < a^n, \; p < q, \; a > 1$$
Примечание: тут значек [tex]<[/tex] означает "меньшая скорость приближения к 0 бесконечно малой последовательности".
$$\frac1 {\ln n} > \frac1 {n^p} > \frac1 {n^q}> \frac1 {a^n}$$
Как и куда это применить? Например надо найти предел [tex]\lim_{n \to \infty }\frac{n^{1000}}{2^n}[/tex], вы можете смело отвечать, что [tex]\lim_{n \to \infty }\frac{n^{1000}}{2^n}=0[/tex], потому что [tex]2^n[/tex] бесконечно большая большей скорости роста чем [tex]n^{1000}[/tex]. Подумайте, можно так же сказать например о том какой предел [tex]\lim_{n \to \infty }\frac{\ln n}{\sqrt{n}}[/tex]?
Вычисление пределов последовательностей.
теперь достаточно материала для решения задач на нахождение пределов последовательностей. При решении вам надо подумать, что из перечисленного выше можно использовать.
Примеры:
- найти предел последовательности [tex]\lim_{n \to \infty } \frac{\sin n}{n}[/tex]. Используем "лемму о двух милиционерах": [tex]- \frac1 n \leqslant \frac{\sin n}{n} \leqslant \frac1 n[/tex] слева и справа последовательности с нулевым пределом, а члены последовательности [tex]\frac{\sin n}{n}[/tex] находятся между. Условия леммы о двух милиционерах выполнены и мы можем сказать что [tex]\lim_{n \to \infty } \frac{\sin n}{n}=0[/tex].
- Найти предел [tex]\lim_{n \to \infty }\left ( 2\cdot \left ( 1+ \frac1 n \right )^n \right )[/tex] (это почти второй замечательный предел, члены этой последовательности получены умножением на 2 членов последовательности замечательного предела). Используем 4 свойство из теорем о пределах последовательностей, которое такое [tex]\lim_{n \to \infty } \left (\alpha \cdot a_n \right )= \alpha \cdot a[/tex], тогда получаем: $$\lim_{n \to \infty }\left ( 2\cdot \left ( 1+ \frac1 n \right )^n \right ) = 2 \cdot \lim_{n \to \infty } \left ( 1+ \frac1 n \right )^n = 2 \cdot e$$
- найти предел [tex]\lim_{n \to \infty }\left ( 1+ \frac1 n \right )^{2n}[/tex]. Можно написать так [tex]\left ( 1+ \frac1 n \right )^{2n}=\left ( 1+ \frac1 n \right )^{n} \cdot \left ( 1+ \frac1 n \right )^{n}[/tex] и сослаться на 3 свойство для пределов последовательностей. $$\lim_{n \to \infty }\left ( 1+ \frac1 n \right )^{2n}=\lim_{n \to \infty }\left (\left ( 1+ \frac1 n \right )^{n} \cdot \left ( 1+ \frac1 n \right )^{n} \right ) = e \cdot e =e^2$$
Домашнее задание
найти следующие пределы (совершенно аналогичные рассмотренным в примерах!!!):
- [tex]\lim_{n \to \infty }\frac{\cos n}{n}[/tex]
- [tex]\lim_{n \to \infty }\left ( 5\cdot \left ( 1+ \frac1 n \right )^n \right )[/tex]
- [tex]\lim_{n \to \infty }\left ( 1+ \frac1 n \right )^{3n}[/tex]
- [tex]\lim_{n \to \infty } \left ( \frac1 n + \left ( 1+ \frac1 n \right )^{2n} \right )[/tex]
- [tex]\lim_{n \to \infty } \left ( \frac1 n \cdot \left ( 1+ \frac1 n \right )^{2n} \right )[/tex]
Анонс на ближайшие пары: пределы функций, теоремы о пределах функций, определение производной, правила дифференцирования, таблица производных основных элементарных функций, применение производной (например в физике- большая часть физических законов формулируется через дифференциальные уравнения, то есть уравнения с производными).
|
| |
| |
