[ Обновленные темы · Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]
  • Страница 1 из 1
  • 1
ФОРУМ » » Группа 481 » Продолжаем тему последовательности и домашнее задание (новый материал + дз за 26.03.2020)
Продолжаем тему последовательности и домашнее задание
adminДата: Среда, 25.03.2020, 18:11 | Сообщение # 1
Генерал-майор
Группа: Администраторы
Сообщений: 499
Репутация: 1
Статус: Offline
Кратко, что обсуждали в прошлый раз.
Последовательность это отображение, функция (функция, отображение - это синонимы) [tex]f:\mathbb{N} \to \mathbb{R}[/tex] (из множества натуральных чисел в вещественные).

Рассмотрели примеры последовательностей (арифметическая и геометрическая прогрессия, последовательность конечных сумм геометрической прогрессии).

У членов последовательности может быть (но может и не быть) такое поведение: с ростом номера они все ближе и ближе  группируются вокруг какого- то вещественного числа, оно называется пределом последовательности.

Строгое определение предела такое:     [tex]\exists a\in \mathbb{R}\;[/tex] такое что [tex]\forall \;\varepsilon >0 \; \exists \; n_0 \in \mathbb{N} \; | \; n\geqslant n_0 \Rightarrow \left | a-x_n \right |\leqslant \varepsilon[/tex]  тогда говорят [tex]a[/tex] предел последовательности [tex]x_n[/tex] и пишут $$a=\lim_{n \to \infty } x_n$$

Словами то же самое: если $$a=\lim_{n \to \infty } x_n$$ это означает, что начиная с некоторого номера [tex]n_0[/tex] все члены последовательности попадают в произвольно малую [tex]\varepsilon[/tex]  окрестность точки [tex]a[/tex].

Рассматривали простой пример $$x_n= \frac1 n\;,\; a=0$$ и выясняли, с какого номера например все члены этой последовательности попадут в окрестность нуля размера  одна десятимиллионнная,  [tex]\varepsilon = 10^{-7}[/tex] (соответствующая окрестность нуля [tex]\left ( -10^{-7},10^{-7} \right )[/tex])? Для этого надо решить неравенство [tex]\frac1 n < 10^{-7}[/tex].  Решаем и  выясняется, что в такую окрестность попадают все члены последовательности начиная  [tex]x_{10^7+1}[/tex].   И так можно сказать для любого произвольно малого [tex]\varepsilon[/tex], сказать начиная с какого номера попадаем в эту произвольно малую окрестность. Так строится доказательство по определению, что такая наша последовательность стремится к нулю (или какому то другому числу), мы для произвольного  [tex]\varepsilon[/tex] указываем номер, начиная с которого все члены последовательности попадают в окрестность такого размера.

Новый материал (какие бывают последовательности?)
Монотонность:
  • Последовательность [tex]x_n[/tex] называется монотоннно возрастающей, если [tex]x_{n+1}>x_n[/tex]
  • Последовательность  [tex]x_n[/tex] называется монотоннно неубывающей, если [tex]x_{n+1} \geqslant  x_n[/tex]
  • Последовательность  [tex]x_n[/tex] называется монотоннно убывающей, если [tex]x_{n+1} < x_n[/tex]
  • Последовательность  [tex]x_n[/tex] называется монотоннно невозрастающей, если [tex]x_{n+1} \leqslant   x_n[/tex]
    Например, рассмотренная выше последовательность [tex]x_n=\frac1 n[/tex] является монотонно убывающей, потому что [tex]x_{n+1}=\frac1 {n+1} < x_{n}=\frac1 {n}[/tex]
ограниченность:

Последовательность  [tex]x_n[/tex] называется ограниченной сверху, если все члены последовательности меньше некоторого числа ( [tex]\exists a\in \mathbb{R}|\forall n \; x_n < a[/tex]).
Последовательность  [tex]x_n[/tex] называется ограниченной снизу, если все члены последовательности больше некоторого числа ( [tex]\exists a\in \mathbb{R}|\forall n \; x_n > a[/tex]).

Последовательность  [tex]x_n[/tex] называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

(в следующий раз обсуждаем - важные теоремы о пределах последовательностей)

Домашнее задание:

Для указанных последовательностей [tex]\color {blue}{x_n=\frac1 {n^2} \; , \; y_n=n \; , \; z_n= (-1)^n \; , \; p_n=(-1)^n \cdot n }[/tex] постарайтесь ответить на вопросы:
  • является ли последовательность монотонной? и если да, то какой характер монотонности (монотонно возрастает, монотонно не убывает, монотонно убывает, монотонно не возрастает? )
  • Является ли последовательность ограниченной сверху или снизу?
  • Какие у вас есть предположения, есть ли предел у этой последовательности? (за не ответ на этот вопрос ничего будет, так как мы еще не знаем как выяснять ответы на эти вопросы, я не рассказал; но вы можете догадаться сами, если будет не лень подумать)


Конечно, ответы требуют обоснования (согласно определениям монотонности и ограниченности, приведенным выше).


 
adminДата: Пятница, 10.04.2020, 14:28 | Сообщение # 2
Генерал-майор
Группа: Администраторы
Сообщений: 499
Репутация: 1
Статус: Offline
Как исследовать последовательности на монотонность и ограниченность, подробный разбор на сканах.


 
ФОРУМ » » Группа 481 » Продолжаем тему последовательности и домашнее задание (новый материал + дз за 26.03.2020)
  • Страница 1 из 1
  • 1
Поиск:
Новый ответ
Имя:
Текст сообщения:
Все смайлы
Опции сообщения:
Код безопасности: