| admin | Дата: Пятница, 12.06.2020, 12:18 | Сообщение # 1 |
|
Генерал-майор
Группа: Администраторы
Сообщений: 496
Репутация: 1
Статус: Offline
| Тут 16 домашних заданий за период дистанционного обучения (с 23 марта 2020), со всех намерен спросить хотя бы половину по разным темам. Это не касается тех, у кого с даты 23 марта 2020 восемь или более оценок. У кого оценок менее 8, решите чего нибудь нерешенное ранее, чтобы стало 8 оценок. Это не касается тех студентов, кто постоянно работал, у них более половины этих домашних заданий из списка ниже.
Домашнее задание 1
найти следующие пределы (совершенно аналогичные рассмотренным в примерах!!!):
- [tex]\lim_{n \to \infty }\frac{\cos n}{n}[/tex]
- [tex]\lim_{n \to \infty }\left ( 5\cdot \left ( 1+ \frac1 n \right )^n \right )[/tex]
- [tex]\lim_{n \to \infty }\left ( 1+ \frac1 n \right )^{3n}[/tex]
- [tex]\lim_{n \to \infty } \left ( \frac1 n + \left ( 1+ \frac1 n \right )^{2n} \right )[/tex]
- [tex]\lim_{n \to \infty } \left ( \frac1 n \cdot \left ( 1+ \frac1 n \right )^{2n} \right )[/tex]
Домашнее задание 2:
Для указанных последовательностей [tex]\color {blue}{x_n=\frac1 {n^2} \; , \; y_n=n \; , \; z_n= (-1)^n \; , \; p_n=(-1)^n \cdot n }[/tex] постарайтесь ответить на вопросы:
- является ли последовательность монотонной? и если да, то какой характер монотонности (монотонно возрастает, монотонно не убывает, монотонно убывает, монотонно не возрастает? )
- Является ли последовательность ограниченной сверху или снизу?
- Какие у вас есть предположения, есть ли предел у этой последовательности? (за не ответ на этот вопрос ничего будет, так как мы еще не знаем как выяснять ответы на эти вопросы, я не рассказал; но вы можете догадаться сами, если будет не лень подумать)
Домашнее задание 3:
предельная точка это не предел последовательности!!! А такая точка, в произвольную окрестность которой попадает бесконечно много членов последовательности.
Задача 1: Последовательность [tex]x_n=(-1)^n[/tex] имеет две предельных точки [tex]\pm 1[/tex]. Это понятно, ведь в окрестность каждой из этих точек попадает бесконечно много члеов последовательности [tex]x_n=(-1)^n[/tex]. Задание: придумайте последовательность у которой 3 предельных точки по аналогии с этой последовательностью, у которой две предельные точки.
Подсказка: [tex]x_n=(-1)^n[/tex] удобно (для ответа на вопрос) записать так $$x_n=(-1)^n=\left\{\begin{matrix}
-1, \; n \; нечетно \; или \; n=2k-1\\
1, \; n \; четно \; или \; n=2k
\end{matrix}\right.
$$
Что в такой записи можно модифицировать, чтобы получилась последовательность, имеющая 3 предельных точки?
Задача 2: Есть ли предельная точка у последовательности [tex]y_n=n^{((-1)^n)}[/tex]. Если есть, то какая это точка?
Задача 3: найти пределы последовательностей. Указание: смотрите материал позапрошлой пары тут в разделе "сравнение бесконечно больших и бесконечно малых".
- [tex]\lim_{n \to \infty }\left (1 + \frac{\ln n}{n} \right )[/tex]
- [tex]\lim_{n \to \infty }\left (3 + \frac{n}{3^n} \right )[/tex]
- на второй замечательный предел [tex]\lim_{n \to \infty }\left (1 + \frac{1}{n} \right )^{5n}[/tex]. Указание: используйте ранее (в прошлых дз и на прошлых парах) полученный результат, а также свойства пределов последовательностей [tex]\lim_{n \to \infty }\left (1 + \frac{1}{n} \right )^{2n}=e^2[/tex] и [tex]\lim_{n \to \infty }\left (1 + \frac{1}{n} \right )^{3n}=e^3[/tex]
- (см. выше техника вычисления пределов, тут просто надо выяснить какие бесконечно большие растут быстрее всего, все остальное можно отбросить и найти предел) $$\lim_{n \to \infty }\frac {4\cdot 3^n+ 12n^2+100n+\ln n}{3^n+4n^2-200n-3}=?$$
Задача 4: последовательность [tex]x_n=(-1)^n[/tex], не имеет предела, но имеет две предельных точки. Что можно сказать о подпоследовательности нечетных членов этой последовательности? Есть ли у нее предел и если есть то какой он?
Домашнее задание 4:
Решать задачи: Алгебра и начала анализа 10-11 классы. Задачник.Мордкович [djvu формат] №26.1, 26.2, 26.3, 26.7, 26.8
То же картинками сканов:
№26.1 картинки к 26.1 тут
№ 26.3, 26.7
№ 26.8
Домашнее задание 5: используя таблицу производных и правила дифференцирования найти производные от следующих функций:
- [tex]f(x)=2x^3+\ln x[/tex]
- [tex]g(x)=3 \cos x +5 tg x[/tex]
- [tex]h(x)=x \cdot \cos x[/tex] (использовать формулу для производной произведения, под вторым номером на сайте в правилах дифференцирования)
Домашнее задание 6:
- найти угловой коэффициент касательной к графику функции[tex]f(x)=x^2-3[/tex] функции в точке [tex]x_0=2[/tex]
- найти уравнение касательной к графику функции [tex]f(x)=x^2-3[/tex] функции в точке [tex]x_0=2[/tex]
- точка движется вдоль оси [tex]0x[/tex] по закону [tex]x(t)=3 \sin t +5t[/tex]. Найдите скорость и ускорение точки в зависимости от времени. В каких единицах скорость и ускорение если длина измеряется в метрах, а время в секундах? В каких единицах скорость и ускорение если длина в световых годах, а время в секундах? Допускает ли физика такое движение для материального объекта, информации (сигналов) и пятна лазерной указки? Если в каких то случаях нет, то почему?
Домашнее задание 7:
Решить любые три номера в диапазоне 28.1-28.5 из задачника Мордковича, скан нужной страницы ниже. Если есть вопросы задавать в эту тему
Домашнее задание 8:
найти производные от композиции функций, по формуле производной сложной функции, вверху.
- [tex]\left ( \ln \cos x \right )'[/tex]
- [tex]\left ( \cos \ln x \right )'[/tex]
- [tex]\left ( \cos \left ( \cos x \right ) \right )'[/tex]
- тут придется дважды применять формулу для производной композиции функций [tex]\left ( \cos \left (\cos \left ( \cos x \right ) \right ) \right )'[/tex]
вместо [tex]n[/tex] подставить свой порядковый номер увеличенный на 5. Например, вы в журнале под номером 3, значит у вас [tex]n=3+5=8[/tex] (это чтобы у всех были разные варианты)
- [tex]\left (\cos x^n \right )'[/tex]
- [tex]\left (\cos^n x \right )'[/tex]
- [tex]\left (\cos^n \left (e^x \right ) \right )'[/tex]
Домашнее задание 9:
(1) написать выражение для приближенного значения [tex]\sin 29^{\circ}[/tex], подобно тому как это сделано в примере выше для [tex]\sin 31^{\circ}[/tex] (подумайте в чем разница с рассмотренным чуть выше примером?)
(2) найти дифференциал функции (по формуле [tex]\color {blue} {df=f'(x) \cdot d x}[/tex]) для следующих функций (вам понадобится таблица производных, она есть тут http://dx.tom.ru/index/tablica_proizvodnykh/0-31 ):
- [tex]\color {blue} {d(\sin x)}[/tex]
- [tex]\color {blue} {d(\cos x)}[/tex]
- [tex]\color {blue} {d(x^2)}[/tex]
- [tex]\color {blue} {d(arctg \; x)}[/tex]
Домашнее задание 10:
Решить №29.23(а); Ниже страница из задачника Мордковича для 10-11 кл. с этой задачей.
Домашнее задание 11:
Найдите дифференциал по определению (расписывая приращение функции и выделяя его линейную по [tex]\Delta x[/tex] часть, которая и есть дифференциал ) для функции [tex]f(x)=x^3[/tex], вам понадобится (когда расписываете приращение [tex]f(x)=x^3[/tex] ) формула [tex]\color {red} {\left (a+b \right )^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}[/tex]
Начало с подсказкой, вы продолжите: $$\Delta \left ( x^3 \right ) = \color {blue} {\left ( x+ \Delta x \right )^3} - x^3= ???$$
Там, где выделено синим, понадобится формула, выделенная красным (это бином Ньютона).
Домашнее задание 12: найти точки экстремума для любых двух из следующих функций, это локальный максимум или локальный минимум, или показать, что экстремумов нет (потребуется таблица производных, и правила дифференцирования, и то и другое есть по этой ссылке):
$$\color {blue} {\large {f_1(x)=\frac1 {1+x^2}, \; \; \; f_2(x)=\frac {x}{1+x^2}, \\ f_3(x)=\frac1 {1-x^2}, \; \; \; f_4(x)=\frac {x} {1-x^2}}}$$
Можете исследовать все четыре функции из списка на экстремум, и тогда за это дополнительная оценка за пару.
Домашнее задание 13:
Решить задачи № 48.1, 48.2 из задачника Мордковича, скан нужной страницы ниже:
Домашнее задание 14:
Используя рассмотренное ранее свойство линейности неопределенного интеграла и таблицу интегралов основных элементарных функций найдите следующие неопределенные интегралы:
$$\int 3 \sin x + 4 \cos x dx, \; \int 3 \sin x + 4 \cos x + 7e^x dx, \\ \\ \\ \int 5x^5 -e^x + 3 \sin x dx, \; \int \frac{5}{\cos^2 x} -e^x + \frac{3}{\sin^2 x} dx$$
Домашнее задание 15:
Найти методом замены переменной следующие неопределенные интегралы (синим выделена подсказка, что надо взять за новую переменную):
$$\int \sin \left ( e^x \right )e^xdx=\int \sin \left ( \color {blue} {e^x} \right )d\left ( \color {blue} {e^x} \right ) \\ \int \cos \left ( x^5 \right ) \cdot 5x^4dx= \int \cos \left ( \color {blue} {x^5} \right )d\left ( \color{blue} {x^5} \right ) \\ \int \cos \left ( arctg \left (x \right ) \right )\cdot \frac{dx}{1+x^2}=\int \cos \left ( \color {blue} { arctg (x)} \right )d \left ( \color {blue} {arctg (x)} \right )$$
Самостоятельно решить, что взять за новую переменную при интегрировании методом замены переменной:
$$\int \frac {arctg^3 (x) dx}{1+x^2}$$
Найти неопределенные интегралы методом интегрирования по частям:
(с подсказкой, как выбрать [tex]u, \; dv[/tex])
$$\int x \cdot \cos x dx =\begin{pmatrix}
u=x\\
dv= \cos x dx \\
du = dx\\
v=\int dv= \int \cos x dx = \sin x
\end{pmatrix}$$
(самостоятельно выбрать [tex]u, \; dv[/tex], чтобы найти интегралы методом интегрирования по частям)
$$\int x \sin x dx, \;\;\; \int xe^x dx$$
Домашнее задание 16: найти определенные интегралы при помощи формулы Ньютона - Лейбница:
$$\int_{1}^{2}x^2dx, \;\;\; \int_{0}^{\frac {\pi}{2}}\sin(x) + x^2 dx, \\ \\ \\ \int_{a}^{a+2 \pi n}\sin x dx, \; n \in \mathbb{N}$$
Если кто то хочет это распечатать, то тут лежит этот список домашних заданий в форматах pdf и djvu
|
| |
| |
