[ Обновленные темы · Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]
  • Страница 1 из 1
  • 1
ФОРУМ » » Группа 491 » Показательные уравнения и неравенства (491, подгруппа 1; 491 подгруппа 2; пары в среду 15.04.2020)
Показательные уравнения и неравенства
adminДата: Среда, 15.04.2020, 06:58 | Сообщение # 1
Генерал-майор
Группа: Администраторы
Сообщений: 496
Репутация: 1
Статус: Offline
491, подгруппа 1; 491 подгруппа 2; пары в среду 15.04.2020.

Прежде, чем переходить к логарифмам, осталось рассмотреть еще показательные уравнения и неравенства.


Решение показательных уравнений



Из материала рассмотренного ранее мы знаем, что показательная функция [tex]f(x)=a^x[/tex] монотонна в своей области определения, которая вся вещественная прямая [tex]\left ( -\infty ,\infty  \right ) = \mathbb{R}[/tex] ( и монотонно возрастает, если [tex]a > 1[/tex] и монотонно убывает, если [tex]0 < a < 1[/tex]).
Из за этой монотонности показательной функции получается [tex]a^x = a^y \Leftrightarrow x=y[/tex] на чем и основано решение показательных уравнений. Из за равносильности уравнений [tex]a^x = a^y[/tex] и [tex]x=y[/tex] вместо первого уравнения решают второе.
Технические сложности решения: возникают, если показательное уравнение не имеет изначально вида [tex]a^x = a^y[/tex] то надо (используя свойства степени) к такому виду привести, а далее вы просто решаете второе уравнение [tex]x=y[/tex]
Примеры:
  • [tex]5^x=125[/tex] поскольку [tex]5^3=125[/tex] можно записать [tex]5^x=5^3 \Leftrightarrow \color {red} {x=3}[/tex]
  • [tex]5^{x^2}=5^{3x-2} \Leftrightarrow \color {red} {x^2=3x-2}[/tex] красным выделено квадратное уравнение [tex]x^2-3x+2=0[/tex] равносильное исходному показательному уравнению [tex]5^{x^2}=5^{3x-2}[/tex]. Решаем его по известному алгоритму и находим корни [tex]x_1=1, \; x_2=2[/tex]
  • [tex]5^x=\left ( \frac1{5} \right )^{10}[/tex] уравнение не имеет нужного нам вида [tex]a^x=a^y[/tex], но используя свойства степени мы можем привести к такому виду, например использовать, что [tex]\frac1 {5}=5^{-1}[/tex] или [tex]5= \left ( \frac1{5} \right )^{-1}[/tex]. Используем   [tex]\frac1 {5}=5^{-1}[/tex] уравнение примет нужный нам вид $$5^x=\left ( \frac1{5} \right )^{10}, \; \frac1 {5}=5^{-1}   \Rightarrow 5^x=\left (5^{-1}  \right )^{10} \Rightarrow 5^x = 5^ {-10} \Rightarrow \color {red} {x=-10}$$


Решение показательных неравенств.

При решении показательных неравенств вроде [tex]a^x > a^y[/tex] (или [tex]a^x \geqslant  a^y, \; a^x \leqslant   a^y, \; a^x < a^y[/tex] ) надо отслежитвать, возрастает или убывает показательная функция [tex]a^x[/tex], если возрастает, знак неравенства не меняется, а если убывает, то знак неравенства надо поменять.
Потому получается следующий алгоритм решения показательных неравенств:
  • если [tex]a > 1[/tex] (показательная функция [tex]a^x[/tex] возрастает), тогда знак неравенства не меняется [tex]a^x < a^y \Leftrightarrow  x < y[/tex] или [tex]a^x \leqslant  a^y \Leftrightarrow  x \leqslant  y[/tex]
  • если [tex]0 < a < 1[/tex] (показательная функция [tex]a^x[/tex] убывает), тогда знак неравенства меняется [tex]a^x < a^y \Leftrightarrow  x > y[/tex] или [tex]a^x \leqslant  a^y \Leftrightarrow  x \geqslant  y[/tex]


Примеры:
  • [tex]5^x>25[/tex], поскольку [tex]25=5^2[/tex] неравенство можно записать как [tex]5^x > 5^2[/tex] знак неравенства не меняется, [tex]5^x[/tex] монотонно возрастает, поэтому ответ [tex]5^x > 5^2 \Leftrightarrow \color {red} {x > 2}[/tex]
  • [tex]\left (\frac1 5  \right )^x > 25[/tex] Так как [tex]25=5^2=\left (\left (\frac1 5  \right )^{-1}  \right )^2 = \left (\frac1  5 \right )^{-2}[/tex] неравенство можно записать в виде [tex]\left (\frac1 5  \right )^x > \left (\frac1  5 \right )^{-2}[/tex] в этом случае знак неравенства надо поменять, так как  [tex]\left (\frac1 5  \right )^x[/tex] монотонно убывает. И в итоге получаем: [tex]\left (\frac1 5  \right )^x > \left (\frac1  5 \right )^{-2} \Leftrightarrow \color {blue} {x < -2}[/tex]


Вы можете сюда, в эту тему, задавать вопросы, если что то непонятно!!!
 
ФОРУМ » » Группа 491 » Показательные уравнения и неравенства (491, подгруппа 1; 491 подгруппа 2; пары в среду 15.04.2020)
  • Страница 1 из 1
  • 1
Поиск:
Новый ответ
Имя:
Текст сообщения:
Все смайлы
Опции сообщения:
Код безопасности: