[ Обновленные темы · Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]
  • Страница 1 из 1
  • 1
ФОРУМ » » Группа 491 » Решаем задачи на свойства степени. Показательная функция. (пара 10.04.2020)
Решаем задачи на свойства степени. Показательная функция.
adminДата: Пятница, 10.04.2020, 08:59 | Сообщение # 1
Генерал-майор
Группа: Администраторы
Сообщений: 499
Репутация: 1
Статус: Offline
Задачи на пройденный материал:
Задачи на свойства степени №37.14, №37.15, №37.16, №37.17, №37.18, №37.19
При решении просьба дать в №37.14 комментарии, почему неравенство именно в эту а не в другую сторону, вроде "так как эта такая то функция возрастает" или "так как такая то функция убывает" или "основания одинаковы, а показатели степени такой то больше / меньше".

Для решения остальных задач на упрощение выражений с рациональными степенями вам понадобится материал позапрошлой пары, где описаны свойства степени это тут

Показательная функция, ее свойства и график.

Мы ранее определили рациональную степень таким образом:

$$\color {blue} { {r=\frac {m}{n}\; , \;  a^r=a^{\frac {m}{n}} =\sqrt[n]{a^m}}}$$

и отрицательные показатели степени $$ {\color {blue} {a^{-r}=\frac1 {a^r}}}$$

Это позволяет нам определить показательную функцию [tex]f(x)=a^x[/tex] для рационального значения аргумента [tex]x \in \mathbb{Q}[/tex]

Как определить показательную функцию (пока показательная функция определена на рациональных числах) для произвольного вещественного аргумента [tex]x \in \mathbb{R}[/tex]? что такое, например, [tex]\Large { \color {blue}  {a^{\pi}}}[/tex]?

Используется следующее: всякое вещественное (и иррациональное) число можно сколь угодно точно приблизить рациональными числами. Это обстоятельство выражают фразой "рациональные числа всюду плотное подмножество вещественных чисел" (в сколь угодно малой окрестности вещественного или иррационального числа всегда найдутся рациональные числа).

Если мы поймем как возвести в иррациональную степень, например [tex]\Large { \color {blue}  {a^{\pi}}}[/tex] то мы аналогично можем построить  произвольную иррациональную степень.

Число [tex]\pi[/tex] иррационально, это бесконечная непериодическая десятичная дробь. [tex]\pi \approx 3,1415926535897932384626433832795...[/tex]    мы можем рассмотреть последовательность рациональных приближений [tex]\pi[/tex] конечными десятичными дробями: $$x_1 = 3\\x_2 = 3,1\\
x_3 = 3,14\\
x_4 = 3,141\\
x_5 = 3,1415\\
x_6 = 3,14159\\
................. $$
При этом все рациональные степени [tex]a^{x_n}[/tex] мы можем найти  по формуле для рациональных степеней $$\color {blue} { {  a^r=a^{\frac {m}{n}} =\sqrt[n]{a^m}}}$$

Если выяснится, что последовательность [tex]a^{x_n}[/tex] имеет предел, то этот предел и будет значением [tex]a^{\pi}[/tex]. В математическом анализе это доказывается (с использованием понятия непрерывности, с которым мы не знакомы, или знакомы но очень поверхностно), что такой предел есть. Таким образом можно поступить для всякого иррационального или вещественного числа, не только для иррационального числа [tex]\pi[/tex] и, как говорят, продолжить по непрерывности функцию [tex]f(x)=a^x, \; f: \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R}[/tex]  до новой функции (в принципе ее надо какой то другой буквой обозначать, эта функция определена на более широком множестве [tex]\mathbb{R}[/tex], чем первоначальная функция, определенная на [tex]\mathbb{Q}[/tex], но так обычно не делают, потому что о чем речь понятно из контекста), продолжить до функции определенной уже для всех вещественных чисел [tex]f(x)=a^x, \; f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex]
Почитать можно учебник по алгебре и началам анализа,Мордкович стр. 245-255

Анонс на следующую пару, в сб, 11.04.2020: свойства и графики показательной функции [tex]\color {blue} {f(x)=a^x}[/tex] при разных значениях [tex]\color {blue} {a}[/tex]
 
ФОРУМ » » Группа 491 » Решаем задачи на свойства степени. Показательная функция. (пара 10.04.2020)
  • Страница 1 из 1
  • 1
Поиск:
Новый ответ
Имя:
Текст сообщения:
Все смайлы
Опции сообщения:
Код безопасности: