[ Обновленные темы · Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]
  • Страница 1 из 1
  • 1
ФОРУМ » » Группа 491 » степенная функция, ее свойства и графики и домашнее задание (материал за 08.04.2020)
степенная функция, ее свойства и графики и домашнее задание
adminДата: Среда, 08.04.2020, 06:31 | Сообщение # 1
Генерал-майор
Группа: Администраторы
Сообщений: 499
Репутация: 1
Статус: Offline
На прошлой паре мы рассмотрели степени с произвольным рациональным показателем [tex]r=\frac {m}{n}[/tex] которая определяется так:  [tex]a^r=\sqrt [n]{a^m}[/tex]. Отрицательные рациональные степени определяются так: [tex]a^{-r}=\frac1 {a^r}[/tex]

Распространенные недочеты в решении прошлого домашнего задания (на степени с рациональным показателем): часто студенты пишут степени не как верхний индекс   [tex]a^{\frac {5}{6}}[/tex] (так надо писать, степень как верхний индекс), вместо этого пишут так, это неправильно: [tex]a \frac {5}{6}[/tex], так пишется не степень, а умножение на такую дробь.

Новый материал: степенная функция и ее график.
читать: Мордкович, алгебра и начала математического анализа, стр 235-243
Поскольку мы ранее определили возведение в произвольную рациональную степень [tex]r=\frac {m}{n}[/tex] по формуле  [tex]a^r=\sqrt [n]{a^m}[/tex] мы можем рассмотреть функцию вида
[tex]f(x)=x^r[/tex], где [tex]r \in \mathbb{Q}[/tex].
Такая функция называется степенная функция. Рассмотрим ее основные свойства и график при различных показателях [tex]r=\frac {m}{n}[/tex].

Свойства степенной функции [tex]f(x)=x^r, \; r>1[/tex]:
  • область определения [tex]D(f)=\left [ 0, \infty  \right )[/tex]
  • не является ни четной, ни нечетной (это следует из несимметричности области определения относительно 0)
  • возрастает на [tex]\left [ 0, \infty  \right )[/tex]
  • не ограничена сверху, ограничена снизу
  • не имеет наибольшего значения, наименьшее значение [tex]f(0)=0^r=0[/tex]
  • непрерывна (мы это понятие строго  еще не обсуждали, означает это что в близких точках значения функции близки, нет "разрывов", скачков)
  • область значений [tex]E(f)=\left [ 0, \infty  \right )[/tex]
  • выпукла вниз (не обсуждали что это такое)


График:



Свойства степенной функции  [tex]f(x)=x^r, \; 0< r< 1[/tex]
  • область определения [tex]D(f)=\left [ 0, \infty  \right )[/tex]
  • не является ни четной, ни нечетной (это следует из несимметричности области определения относительно 0)
  • возрастает на [tex]\left [ 0, \infty  \right )[/tex]
  • не ограничена сверху, ограничена снизу
  • не имеет наибольшего значения, наименьшее значение [tex]f(0)=0^r=0[/tex]
  • непрерывна (мы это понятие строго  еще не обсуждали, означает это что в близких точках значения функции близки, нет "разрывов", скачков)
  • область значений [tex]E(f)=\left [ 0, \infty  \right )[/tex]
  • выпукла вверх  (не обсуждали что это такое)


График:




Свойства степенной функции [tex]f(x)=x^r, \; r<0[/tex] :
  • область определения [tex]D(f)=\left ( 0, \infty  \right )[/tex]
  • не является ни четной, ни нечетной (это следует из несимметричности области определения относительно 0)
  • убывает на  [tex]\left ( 0, \infty  \right )[/tex]
  • не ограничена сверху, ограничена снизу 0, но это значение не достигается ни в какой точке (к 0 [tex]f(x)[/tex] приближается, когда [tex]x \to \infty[/tex] , пишут это так [tex]\lim_{x \to \infty } f(x) = 0[/tex])
  • не имеет наибольшего значения и не имеет наименьшего значения (хотя и ограничена снизу)
  • непрерывна (мы это понятие строго  еще не обсуждали, означает это что в близких точках значения функции близки, нет "разрывов", скачков)
  • область значений [tex]E(f)=\left ( 0, \infty  \right )[/tex]
  • выпукла вниз (не обсуждали что это такое)


График:



Примечание: то же самое верно и для степенной функции с произвольным уже не рациональным, а вещественным показателем степени [tex]f(x)=x^{\alpha}, \; \alpha \in \mathbb{R}[/tex]

Домашнее задание:
задачник Мордкович, №38.2, №38.4

№38.2 (схематично нарисуйте графики, картинки см. выше)
№38.4

Если у вас возникли вопросы, задавайте их в эту тему, регистрация для этого необязательна
 
ФОРУМ » » Группа 491 » степенная функция, ее свойства и графики и домашнее задание (материал за 08.04.2020)
  • Страница 1 из 1
  • 1
Поиск:
Новый ответ
Имя:
Текст сообщения:
Все смайлы
Опции сообщения:
Код безопасности: