| admin | Дата: Среда, 08.04.2020, 06:31 | Сообщение # 1 |
|
Генерал-майор
Группа: Администраторы
Сообщений: 499
Репутация: 1
Статус: Offline
| На прошлой паре мы рассмотрели степени с произвольным рациональным показателем [tex]r=\frac {m}{n}[/tex] которая определяется так: [tex]a^r=\sqrt [n]{a^m}[/tex]. Отрицательные рациональные степени определяются так: [tex]a^{-r}=\frac1 {a^r}[/tex]
Распространенные недочеты в решении прошлого домашнего задания (на степени с рациональным показателем): часто студенты пишут степени не как верхний индекс [tex]a^{\frac {5}{6}}[/tex] (так надо писать, степень как верхний индекс), вместо этого пишут так, это неправильно: [tex]a \frac {5}{6}[/tex], так пишется не степень, а умножение на такую дробь.
Новый материал: степенная функция и ее график.
читать: Мордкович, алгебра и начала математического анализа, стр 235-243
Поскольку мы ранее определили возведение в произвольную рациональную степень [tex]r=\frac {m}{n}[/tex] по формуле [tex]a^r=\sqrt [n]{a^m}[/tex] мы можем рассмотреть функцию вида
[tex]f(x)=x^r[/tex], где [tex]r \in \mathbb{Q}[/tex].
Такая функция называется степенная функция. Рассмотрим ее основные свойства и график при различных показателях [tex]r=\frac {m}{n}[/tex].
Свойства степенной функции [tex]f(x)=x^r, \; r>1[/tex]:
- область определения [tex]D(f)=\left [ 0, \infty \right )[/tex]
- не является ни четной, ни нечетной (это следует из несимметричности области определения относительно 0)
- возрастает на [tex]\left [ 0, \infty \right )[/tex]
- не ограничена сверху, ограничена снизу
- не имеет наибольшего значения, наименьшее значение [tex]f(0)=0^r=0[/tex]
- непрерывна (мы это понятие строго еще не обсуждали, означает это что в близких точках значения функции близки, нет "разрывов", скачков)
- область значений [tex]E(f)=\left [ 0, \infty \right )[/tex]
- выпукла вниз (не обсуждали что это такое)
График:
Свойства степенной функции [tex]f(x)=x^r, \; 0< r< 1[/tex]
- область определения [tex]D(f)=\left [ 0, \infty \right )[/tex]
- не является ни четной, ни нечетной (это следует из несимметричности области определения относительно 0)
- возрастает на [tex]\left [ 0, \infty \right )[/tex]
- не ограничена сверху, ограничена снизу
- не имеет наибольшего значения, наименьшее значение [tex]f(0)=0^r=0[/tex]
- непрерывна (мы это понятие строго еще не обсуждали, означает это что в близких точках значения функции близки, нет "разрывов", скачков)
- область значений [tex]E(f)=\left [ 0, \infty \right )[/tex]
- выпукла вверх (не обсуждали что это такое)
График:
Свойства степенной функции [tex]f(x)=x^r, \; r<0[/tex] :
- область определения [tex]D(f)=\left ( 0, \infty \right )[/tex]
- не является ни четной, ни нечетной (это следует из несимметричности области определения относительно 0)
- убывает на [tex]\left ( 0, \infty \right )[/tex]
- не ограничена сверху, ограничена снизу 0, но это значение не достигается ни в какой точке (к 0 [tex]f(x)[/tex] приближается, когда [tex]x \to \infty[/tex] , пишут это так [tex]\lim_{x \to \infty } f(x) = 0[/tex])
- не имеет наибольшего значения и не имеет наименьшего значения (хотя и ограничена снизу)
- непрерывна (мы это понятие строго еще не обсуждали, означает это что в близких точках значения функции близки, нет "разрывов", скачков)
- область значений [tex]E(f)=\left ( 0, \infty \right )[/tex]
- выпукла вниз (не обсуждали что это такое)
График:
Примечание: то же самое верно и для степенной функции с произвольным уже не рациональным, а вещественным показателем степени [tex]f(x)=x^{\alpha}, \; \alpha \in \mathbb{R}[/tex]
Домашнее задание: задачник Мордкович, №38.2, №38.4
№38.2 (схематично нарисуйте графики, картинки см. выше)
№38.4
Если у вас возникли вопросы, задавайте их в эту тему, регистрация для этого необязательна
|
| |
| |
